Chủ đề này có 5 trả lời

[grigoriperelmanlapdi]

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{3x}+\frac{2x}{3y}=\frac{x+\sqrt{y}}{2x^2+y} & & \\ 2(2x+\sqrt{y})=\sqrt{2x+6}-y & & \end{matrix}\right.$

 

 

[L Lawliet]

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{3x}+\frac{2x}{3y}=\frac{x+\sqrt{y}}{2x^2+y} & & \\ 2(2x+\sqrt{y})=\sqrt{2x+6}-y & & \end{matrix}\right.$

Bài này giống bài toán ở đây và trước đó mình chưa giải ra nhưng nhờ bài bạn post mà mình biết phải đi từ đâu và giải ra hai bài luôn rồi hehe

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\geq -\dfrac{1}{2}$, $x\neq 0$, $y\geq 0$.

Đặt $\sqrt{y}=t>0$ thì phương trình thứ nhất của hệ trở thành:

$$\dfrac{1}{3x}+\dfrac{2x}{t^{2}}=\dfrac{x+t}{2x^{2}+t^{2}}$$

$$\Leftrightarrow \left ( 2x^{2}+t^{2} \right )^{2}=3xt^{2}$$

$$\Leftrightarrow 4x^{4}+x^{2}t^{2}-3xt^{3}+t^{4}=0$$

Phương trình trên là phương trình đẳng cấp và $xt\neq 0$ nên đặt $t=kx$ với $k\neq 0$. Phương trình trở thành:

$$4x^{4}+k^{2}x^{4}-3k^{3}x^{4}+k^{4}x^{4}=0$$

$$\Leftrightarrow k^{4}-3k^{3}+k^{2}+4=0$$

$$\Leftrightarrow \left ( k-2 \right )^{2}\left ( k^{2}+k+1 \right )=0$$

$$\Leftrightarrow k=2$$

$$\Rightarrow t=2x$$

$$\Rightarrow \sqrt{y}=2x$$

$$\Rightarrow y=4x^{2}$$

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

$$4x^{2}+8x=\sqrt{2x+6}$$

Vì $x>0$ nên $4x^{2}+8x>0$ bình phương hai vế của phương trình ta được:

$$\left ( 4x^{2}+8x \right )^{2}=2x+6$$

$$\Leftrightarrow 8x^{4}+32x^{3}+32x^{2}-x-3=0$$

$$\Leftrightarrow \left ( 2x^{2}+3x-1 \right )\left ( 4x^{2}+10x+3 \right )=0$$

$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x=\dfrac{-3\pm \sqrt{17}}{4}} \\ {x=\dfrac{-5\pm \sqrt{13}}{4}} \end{array}} \right.$$

Vì $x>0$ nên ta được $x=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{4}$ suy ra $y=\dfrac{13-3\sqrt{17}}{2}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 20-08-2016 - 17:05

[An Infinitesimal]

 

Bài này giống bài toán ở đây và trước đó mình chưa giải ra nhưng nhờ bài bạn post mà mình biết phải đi từ đâu và giải ra hai bài luôn rồi hehe

Lời giải.

Điều kiện xác định: $x\geq -\dfrac{1}{2}$, $x\neq 0$, $y\geq 0$.

Đặt $\sqrt{y}=t>0$ thì phương trình thứ nhất của hệ trở thành:

$$\dfrac{1}{3x}+\dfrac{2x}{t^{2}}=\dfrac{x+t}{2x^{2}+t^{2}}$$

$$\Leftrightarrow \left ( 2x^{2}+t^{2} \right )^{2}=3xt^{2}$$

$$\Leftrightarrow 4x^{4}+x^{2}t^{2}-3xt^{3}+t^{4}=0$$

Phương trình trên là phương trình đẳng cấp và $xt\neq 0$ nên đặt $t=kx$ với $k\neq 0$. Phương trình trở thành:

$$4x^{4}+k^{2}x^{4}-3k^{3}x^{4}+k^{4}x^{4}=0$$

$$\Leftrightarrow k^{4}-3k^{3}+k^{2}+4=0$$

$$\Leftrightarrow \left ( k-2 \right )^{2}\left ( k^{2}+k+1 \right )=0$$

$$\Leftrightarrow k=2$$

$$\Rightarrow t=2x$$

$$\Rightarrow \sqrt{y}=2x$$

$$\Rightarrow y=4x^{2}$$

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

$$4x^{2}+8x=\sqrt{2x+6}$$

Vì $x>0$ nên $4x^{2}+8x>0$ bình phương hai vế của phương trình ta được:

$$\left ( 4x^{2}+8x \right )^{2}=2x+6$$

$$\Leftrightarrow 8x^{4}+32x^{3}+32x^{2}-x-3=0$$

$$\Leftrightarrow \left ( 2x^{2}+3x-1 \right )\left ( 4x^{2}+10x+3 \right )=0$$

$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x=\dfrac{-3\pm \sqrt{17}}{4}} \\ {x=\dfrac{-5\pm \sqrt{13}}{4}} \end{array}} \right.$$

Vì $x>0$ nên ta được $x=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{4}$ suy ra $y=\dfrac{13-3\sqrt{17}}{2}$.

 

Bạn nghĩ xem vì sao không dùng BĐT "ngay từ đầu" nhỉ?

[L Lawliet]

Bạn nghĩ xem vì sao không dùng BĐT "ngay từ đầu" nhỉ?

Nói thật là ý tưởng dùng bất đẳng thức mình chưa nghĩ đến luôn (và bất đẳng thức mình không biết nhiều nữa), bạn chỉ cách dùng bất được không

[An Infinitesimal]

 

 

ĐHV xóa giúp mình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 27-08-2016 - 18:16

[An Infinitesimal]

Nói thật là ý tưởng dùng bất đẳng thức mình chưa nghĩ đến luôn (và bất đẳng thức mình không biết nhiều nữa), bạn chỉ cách dùng bất được không 

Đó là câu hỏi để cho việc thảo luận được tiếp tục. Mình sẽ đưa ra bình luận cho vấn đề này sau (bằng cách edit cmt này). 

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{3x}+\frac{2x}{3y}=\frac{x+\sqrt{y}}{2x^2+y} & & \\ 2(2x+\sqrt{y})=\sqrt{2x+6}-y & & \end{matrix}\right.$

Dễ thấy ĐK $x, y>0.$

 

Thử dùng BĐT đánh giá tìm ra điểm mấu chốt ở PT1!

 

$\frac{1}{3x}+\frac{2x}{3y}=\frac{x+\sqrt{y}}{2x^2+y}.$

\[\iff (y+2x^2)^2= 3xy(x+\sqrt{y}).\]

\[\iff (y+2x^2)^4= 9x^2y^2 (x+\sqrt{y})^2. (**)\]

Ta có 

\[(x+\sqrt{y})^2 \le \left(\frac{1}{2}+1\right)(2x^2+y),\]

và 

\[(4x^2)y.y \le  \left( \frac{4x^2+2y}{3}\right)^3.\]

 

Do đó $VT (**) \ge VP (**).$

 

Chỉ giải quyết câu hỏi trên, không đem đến một ý gì đẹp!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 27-08-2016 - 18:19