Chủ đề này có 7 trả lời

[KaveZS]

"Nếu g'(x) ≥ 0 ∀x∈K và g'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số g(x) đồng biến trên K"

(bài 1 đại số 12 cơ bản)

Hàm lượng giác y = x - cosx  ( hình vẽ : imgur.com/a/FiRNr )

có y' = 1 + sinx ≥ 0 ∀x∈R, do sinx ∈ [-1;1]
Do y' = 0 tại vô số điểm nên theo đ/nghĩa trên y = x - cosx ko phải là hàm đồng biến trên R?

 

Cho bt bắt tìm m để hàm y = f(x) (bậc 3,chứa t/số m) đồng biến trên R, lời giải chung là cho ∆ _{(y ')} ≤ 0 để suy ra m nhưng có 1 số giáo viên giải thêm pt f '(x) = 0 để tìm điểm hữu hạn và kết luận m? ko biết là có thừa k?

 

Sr vì những lời tâm sự dài dòng, nói tóm lại là ta có nên bỏ phần in xanh cho nó logic ko?

[SilentAssassin1998]

"Nếu A thì B" không tương đương với "Nếu không A thì không B".

Do đó:

"Nếu g'(x) ≥ 0 ∀x∈K và g'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số g(x) đồng biến trên K" không tương đương với "Nếu g'(x) ≥ 0 ∀x∈K và g'(x) = 0 tại vô số điểm thì hàm số g(x) không đồng biến trên K"

[KaveZS]

"Nếu A thì B" không tương đương với "Nếu không A thì không B".

Do đó:

"Nếu g'(x) ≥ 0 ∀x∈K và g'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số g(x) đồng biến trên K" không tương đương với "Nếu g'(x) ≥ 0 ∀x∈K và g'(x) = 0 tại vô số điểm thì hàm số g(x) không đồng biến trên K"

Mình đưa cái ví dụ y = x - cosx minh họa tính 'ko cần thiết' của định nghĩa trên thui
Rõ ràng g'(x) = 0 tại hữu hạn hay vô hạn điểm, thì cứ g'(x) ≥ 0 (hoặc ≤ 0) thì g(x) ĐB (hoặc NB). Nếu mình bỏ phần in xanh bạn thấy hợp lý ko?

[chanhquocnghiem]

"Nếu g'(x) ≥ 0 ∀x∈K và g'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số g(x) đồng biến trên K"

(bài 1 đại số 12 cơ bản)

Hàm lượng giác y = x - cosx  ( hình vẽ : imgur.com/a/FiRNr )

có y' = 1 + sinx ≥ 0 ∀x∈R, do sinx ∈ [-1;1]
Do y' = 0 tại vô số điểm nên theo đ/nghĩa trên y = x - cosx ko phải là hàm đồng biến trên R?

 

Cho bt bắt tìm m để hàm y = f(x) (bậc 3,chứa t/số m) đồng biến trên R, lời giải chung là cho ∆ _{(y ')} ≤ 0 để suy ra m nhưng có 1 số giáo viên giải thêm pt f '(x) = 0 để tìm điểm hữu hạn và kết luận m? ko biết là có thừa k?

 

Sr vì những lời tâm sự dài dòng, nói tóm lại là ta có nên bỏ phần in xanh cho nó logic ko?

Trước hết xin lưu ý bạn đây là định lý chứ không phải định nghĩa.

Còn cái đoạn "và $g'(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm" thì không thể bỏ được, bởi vì nếu $g'(x)=0$ tại vô số điểm thì có thể $g(x)$ không đồng biến (hoặc nghịch biến) trên $K$.

Ví dụ :

$g(x)=7$

Khi đó rõ ràng ta có g'(x) ≥ 0 ∀x∈R và $g'(x)=0$ tại vô số điểm nhưng theo định nghĩa về tính đơn điệu thì hàm $g(x)=7$ không đồng biến trên R.

[KaveZS]

Trước hết xin lưu ý bạn đây là định lý chứ không phải định nghĩa.

Còn cái đoạn "và $g'(x)=0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm" thì không thể bỏ được, bởi vì nếu $g'(x)=0$ tại vô số điểm thì có thể $g(x)$ không đồng biến (hoặc nghịch biến) trên $K$.

Ví dụ :

$g(x)=7$

Khi đó rõ ràng ta có g'(x) ≥ 0 ∀x∈R và $g'(x)=0$ tại vô số điểm nhưng theo định nghĩa về tính đơn điệu thì hàm $g(x)=7$ không đồng biến trên R.

 

Là định lý... ừ mình quên mất. Nhưng sẽ khá là nực cười nếu bạn viết 0 ≥ 0
Rõ ràng g(x) = 7 thì mình suy ra luôn g'(x) = 0 ∀x∈R. ( vì mình chắc thằng g'(x) ko bao giờ > hay < 0 rùi )
 

Để vừa ý bạn mình sửa định lí trên thành
"Nếu g'(x) ≥ 0 ∀x∈K và g(x) ≠ const thì hàm số g(x) đồng biến trên K" . Viết vậy bạn có thấy mâu thuẫn k?
 

p/s : Học xong bài đại đầu tiên, có lẽ là ko ai có thắc mắc như mình. Dù sao thì mình khuyến khích mọi ng` trả lời
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KaveZS: 23-08-2016 - 12:59

[chanhquocnghiem]

Là định lý... ừ mình quên mất. Nhưng sẽ khá là nực cười nếu bạn viết 0 ≥ 0
Rõ ràng g(x) = 7 thì mình suy ra luôn g'(x) = 0 ∀x∈R. ( vì mình chắc thằng g'(x) ko bao giờ > hay < 0 rùi )
 

Để vừa ý bạn mình sửa định lí trên thành
"Nếu g'(x) ≥ 0 ∀x∈K và g(x) ≠ const thì hàm số g(x) đồng biến trên K" . Viết vậy bạn có thấy mâu thuẫn k?
 

p/s : Học xong bài đại đầu tiên, có lẽ là ko ai có thắc mắc như mình. Dù sao thì mình khuyến khích mọi ng` trả lời
 

Viết "$0\geqslant 0$" có nghĩa là "$0> 0$ HOẶC $0=0$".

Đây là dạng mệnh đề "$A$ HOẶC $B$", chỉ cần $A$ đúng hoặc $B$ đúng thì "$A$ HOẶC $B$" đúng.

Mà $0=0$ đúng do đó $0\geqslant 0$ cũng đúng, chẳng có gì "nực cười" cả !

 

Còn cái định lý của bạn sau khi đã sửa lại vẫn có mâu thuẫn, bởi vì thực tế có những hàm số "kỳ quái" lắm.Ví dụ :

$g(x)=\left\{\begin{matrix}-x^2\ neu\ x< 0\\0\ neu\ 0\leqslant x\leqslant 3\\(x-3)^2\ neu\ x> 3 \end{matrix}\right.$

Như vậy trên $\mathbb{R}$, ta có $g'(x)\geqslant 0$ và $g(x)\neq const$ nhưng theo định nghĩa về tính đơn điệu thì $g(x)$ không đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 24-08-2016 - 06:52

[KaveZS]

Viết "$0\geqslant 0$" có nghĩa là "$0> 0$ HOẶC $0=0$".

Đây là dạng mệnh đề "$A$ HOẶC $B$", chỉ cần $A$ đúng hoặc $B$ đúng thì "$A$ HOẶC $B$" đúng.

Mà $0=0$ đúng do đó $0\geqslant 0$ cũng đúng, chẳng có gì "nực cười" cả !

 

Còn cái định lý của bạn sau khi đã sửa lại vẫn có mâu thuẫn, bởi vì thực tế có những hàm số "kỳ quái" lắm.Ví dụ :

$g(x)=\left\{\begin{matrix}2x\ neu\ x< 0\\0\ neu\ 0\leqslant x\leqslant 3\\2x-6\ neu\ x> 3 \end{matrix}\right.$

Như vậy trên $\mathbb{R}$, ta có $g'(x)\geqslant 0$ và $g(x)\neq const$ nhưng theo định nghĩa về tính đơn điệu thì $g(x)$ không đồng biến trên $\mathbb{R}$.

 

Hì chắc lại phải thêm điều kiện hàm g(x) là hàm liên tục thì định lí mới chính xác hơn nữa nhỉ?
 

Giờ mình thử bỏ phần in xanh đi chắc nổ ra nhiều vấn đề, à còn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa

Ngoài hàm "kỳ quái" như bạn nói, ko biết các hàm trị tuyệt đối có mâu thuẫn gì với "định lí sửa đổi" ở trên ko?

[chanhquocnghiem]

Hì chắc lại phải thêm điều kiện hàm g(x) là hàm liên tục thì định lí mới chính xác hơn nữa nhỉ?
 

Giờ mình thử bỏ phần in xanh đi chắc nổ ra nhiều vấn đề, à còn hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa

Ngoài hàm "kỳ quái" như bạn nói, ko biết các hàm trị tuyệt đối có mâu thuẫn gì với "định lí sửa đổi" ở trên ko?

Nếu hàm số có đạo hàm trên $K$ thì nó cũng liên tục trên $K$.Do đó đã có điều kiện $g(x)$ có đạo hàm trên $K$ thì không cần thêm điều kiện $g(x)$ liên tục trên $K$ làm gì.

 

Còn nếu muốn ví dụ về hàm có giá trị tuyệt đối mâu thuẫn với "định lý sửa đổi" thì có đây :

$g(x)=\left\{\begin{matrix}\left | \sqrt{-x^2-8x-15}-x^2-8x-15 \right |\ neu\ x\in (-5;-4)\\\left | \left | x \right |+x-2 \right |\ neu\ x\in \left [ -4;-1 \right ]\\\left | -x^3-3x^2-3x-3 \right |\ neu\ x\in (-1;+\infty) \end{matrix}\right.$

Trên $(-5;+\infty)$, ta luôn có $g'(x)\geqslant 0$ và $g(x)\neq const$ nhưng $g(x)$ cũng không phải là hàm đồng biến trên $(-5;+\infty)$.