Chủ đề này có 112 trả lời

[Mr Cooper]

Let a,b,c \[ \ge \] and \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\]

 

Prove that:

 

\[\frac{1}{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + 4} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {{b^2} + {c^2} + 4} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {{c^2} + {a^2} + 4} \right)}^2}}} \le \frac{3}{{4{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}\]

 

Source: Le Viet Hung ( Cooper Carpenter )

[Peanut2602]

$\frac{a}{b}$

[bangbang1412]

Mặt phẳng nổi $P^{2}$ là mặt compact , ánh xạ thương $p: S^{1} \to P^{2}$ là ánh xạ phủ . 

Proof . 

Trước tiên ta cần cái definition :

Nếu $A \subset X$ và $p : X \to A$ là surjective map thì tồn tại chỉ một topo trên $A$ sao cho $p$ là ánh xạ thương . Cái này proof cũng không khó theo defi của nó . 

Trước tiên cm ánh xạ thương là mở tức là ( hiển nhiên nó surjective ) 

$$p : S^{1} \to P^{2}$$

$$x \to [x]$$

Gọi $U$ mở của $S^{2}$ , antipodal map là 

$$\alpha : S^{2} \to S^{2} $$

$$\alpha(x) = -x$$

Là đồng phôi , hiển nhiên , thế thì $a(U)$ mở trong $S^{2}$ , ta có

$$p^{-1}(p(U)) = U \cap \alpha(U)$$

Tương tự $p$ là ánh xạ đóng . Giờ nó là covering . Hiển nhiên ta thấy

$$p^{-1}(p(U)) = U \cap \alpha(U)$$ 

Mỗi cái mà map qua $p$ thì đồng phôi với $p(U)$ , vậy nó là covering . Nên chỉ còn chứng minh nó là mặt compact .

Lemma : Nếu $p : E \to B$ là covering map và $p(e_{0})=b_{0}$ . Nếu $E$ path connected thì lifting correspondence :

$$\phi : \pi_{1}(B,b_{0}) \to p^{-1}(b_{0})$$

Là surjective . Nếu $E$ simply connected thì nó là bijective . 

Vậy áp dụng lemma trên ta thấy $S^{2}$ là simply connected ta có một song ánh giữa $\pi_{1}(P^{2},y)$ và $p^{-1}(y)$ contain $y$ và $-y$ do đó 

$$\pi_{1}(P^{2},y) \cong Z/2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 13-01-2017 - 23:04

[Creh Leonard]

Tìm max của $P= \frac{1+\sqrt{a^{2}-1}}{a} + \frac{1+\sqrt{b^{2}-1}}{b} +\frac{1+\sqrt{c^{2}-1}}{c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Creh Leonard: 24-01-2017 - 14:58

[gekravenor]

$\mathbb{Z}$

[namanh1237]

phương trình đã cho  

 \rightarrow   x=(6+\sqrt{x})\frac{x}{(1+\sqrt{1+\sqrt{x}})^{2}}

\rightarrow x=0 \vee (6+\sqrt{x})=(1+\sqrt{1+\sqrt{x}})^{2} \rightarrow 1+\sqrt{x}=t 

[NHoang1608]

Cho 3 số thực dương thỏa mãn $a^{3}+b^{3}=c^{3}$

Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}-c^{2}> 6(c-a)(c-b)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 25-02-2017 - 19:42

[tuankh02]

x^{2}

[tuankh02]

x²

[Mr Cooper]

This is some {\color{green!55!blue}custom colored text}

[AnhTran2911]

$\frac{a}{b+c}$

[AnhTran2911]

cho $\{a}{b}{c}$ \ge 0 thỏa mãn

[TrBaoChis]

$\frac{a}{b+c}$

[TrBaoChis]

$\frac{$\sqrt{a+b^2}$}{b+1}$

[TrBaoChis]

\sum $\frac{a}{b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrBaoChis: 10-04-2017 - 07:09

[TrBaoChis]

$\sum\frac{a}{a^2+b^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrBaoChis: 10-04-2017 - 07:13

[TrBaoChis]

$\sum a$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrBaoChis: 10-04-2017 - 07:14

[huyhoangktxxp]

$\lim_{x\to0}\left ( \frac{sinx}{x} \right )^{\frac{1}{x^{2}}}$

[Hilu0810]

$ cho các số thực a, b, c thỏa mãn \frac{27a^2}{2}+4b^2+c^2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hilu0810: 18-04-2017 - 23:11

[tankhoaphominh]

$\bg_blue \tiny a/b\displaystyle{\frac{2x+3}{3x}}}$