a)Dễ dàng chứng minh được $\widehat{MAN}=180^{\circ}$ suy ra $M,A,N$ thằng hàng
$AH=\sqrt{HB.HC}=\sqrt{20.45}=30$
Vì $BM,CN$ là các tiếp tuyến nên $BM=BH=20,CN=CH=45$
$MN$ là đường kính $(A)$ nên $MN=2AH=2.30=60$
Chứng minh được $BMNC$ là hình thang vuông, do đó $S_{BMNC}=\frac12 (BM+NC)MN=\frac12 (20+45)60=\boxed{1950}$
c)Dễ thấy $\Delta BMI \sim \Delta CNI \Rightarrow \frac{BM}{CN}=\frac{IM}{IN}\Leftrightarrow \frac{BM}{CN-BM}=\frac{IM}{IN-IM}$
$\Leftrightarrow IM=\frac{BM}{CN-BM}(IN-IM)=\frac{BM}{CN-BM}.MN=\frac{20}{45-20}.60=\boxed{48}$
Do đó $IB=\sqrt{IM^2+BM^2}=\sqrt{48^2+20^2}=\boxed{52}$
b) (Sử dụng dữ liệu câu c)
Dễ dàng chứng minh được $\Delta KAN=\Delta IAH\Rightarrow \left\{\begin{matrix} KA=AI=AM+IM=30+48=\boxed{78}\\ KN=IH=IB+BH=52+20=\boxed{72} \end{matrix}\right.$