Chủ đề này có 4 trả lời

[nguyenhongsonk612]

Bài $1$: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geqslant \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$$

Bài $2$: Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của

$$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+\frac{\sqrt{2}(a+b+c)}{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}$$

Baif $3$: Cho $a,b,c \geqslant 0$, trong $a,b,c$ không có hai số nào đồng thời bằng $0$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geqslant 2$$

Chú ý: Sử dụng bổ đề $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}\geqslant 2\sqrt{\frac{a+b}{a+b+2c}}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 25-08-2016 - 16:48

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 3 là bất đẳng thức Schur bậc 3.

[NTA1907]

Bài $1$: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:

$$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geqslant \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}}=\sum \frac{a^{2}}{a\sqrt{b+c}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum a\sqrt{b+c}}=\frac{(a+b+c)^{2}}{\sum \sqrt{a}.\sqrt{ab+ac}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{2(a+b+c)(ab+bc+ca)}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sqrt{2(a+b+c).\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}}=\sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$

[nguyenhongsonk612]

Bài 3 là bất đẳng thức Schur bậc 3.

Mấy bài này nếu sử dụng bổ đề ở trên thì làm như thế nào ạ anh?

[Nguyenhuyen_AG]

Mấy bài này nếu sử dụng bổ đề ở trên thì làm như thế nào ạ anh?

 

Cái này em tìm đọc trên báo THTT số tháng 7 vừa rồi hình như có nói đến.