Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix} x^2 y=x+z \\ y^2 z=y+x \\ z^2 x = z + y\\ \end{matrix}\right.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
HoaiBao

HoaiBao

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 171 Bài viết

Bài số $\fbox{2a}$:

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^2 y=x+z \\ y^2 z=y+x \\ z^2 x = z + y\\ \end{matrix}\right.$
 



#2
davidsilva98

davidsilva98

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết

Bài số $\fbox{2a}$:

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x^2 y=x+z \\ y^2 z=y+x \\ z^2 x = z + y\\ \end{matrix}\right.$
 

 

Hệ phương trình trên tương đương với $$\left\{\begin{matrix} y(x^2+1)=x+y+z\; (1) \\ z(y^2+1)=x+y+z \;  (2)\\ x(z^2+1) = x+y+z\; (3)\\ \end{matrix}\right.$$ Nếu $x+y+z=0$ thì ta suy ra $x=y=z=0$

 

Nếu $x+y+z\neq 0$ thì dẫn đến $x,y,z$ cùng dấu. Ta có nhận xét $(x_{0};y_{0};z_{0})$ là nghiệm của hệ thì $(-x_{0};-y_{0};-z_{0})$ cũng là nghiệm của hệ. Do đó, ta chỉ cần xét $x,y,z>0$.

 

Trường hợp 1. Nếu $x>y$ thì dẫn đến $$x^2+1>y^2+1\Rightarrow y<z\Rightarrow y^2+1<z^2+1\Rightarrow z>x\Rightarrow z^2+1>x^2+1\Rightarrow x<y$$ Do đó dẫn đến vô lý.

 

Trường hợp 2. Nếu $x<y$ thì tương tự ta có được $x>y$. Dẫn đến mâu thuẫn

 

Suy ra $x=y=z$. Khi đó ta có phương trình $x^3=2x\Leftrightarrow x=0\vee x=\pm \sqrt{2}$

 

Vậy nghiệm của hệ là $\left ( x,y,z \right )=\left \{ \left ( 0,0,0 \right ) ;\left ( \sqrt{2},\sqrt{2},\sqrt{2} \right );\left ( -\sqrt{2},-\sqrt{2},-\sqrt{2} \right )\right \}$

 

 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh