Tìm các số nguyên dương $a, b, c> 1$ đôi một khác nhau thỏa mãn: $abc-1\vdots (a-1)(b-1)(c-1).$
Tìm các số nguyên dương $a, b, c> 1.$
#1
Đã gửi 25-08-2016 - 17:29
#2
Đã gửi 25-08-2016 - 23:33
Tìm các số nguyên dương $a, b, c> 1$ đôi một khác nhau thỏa mãn: $abc-1\vdots (a-1)(b-1)(c-1).$
Do vai trò của $a;b;c$ là như nhau nên giả sử : $a\leq b\leq c$.
Đặt :$\left\{\begin{matrix} x=a−1\\ y=b−1 \\ z=c−1 \end{matrix}\right.$ với $0< x\leq y\leq z$ và $x;y;z \in \mathbb{Z}^{+}$.
Ta có :
$(x+1)(y+1)(z+1)−1\vdots xyz$
$\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+x+y+z\vdots xyz$
$\Leftrightarrow \frac{xyz+xy+yz+zx+x+y+z}{xyz} \in \mathbb{Z}^{+}$
$\Leftrightarrow f(x,y,z)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx} \in \mathbb{Z}^{+}$
Để ý rằng : Nếu $a>b;a,b \in \mathbb{Z}^{+}\Rightarrow \frac{1}{a}< \frac{1}{b}$.
Do đó :
$f(x,y,z)\leq f(1,2,3)\approx 2,8(3)\Rightarrow f(x,y,z) \in \left \{ 1;2 \right \}$
mà : $f(3,4,5)\approx 0,98(3) < 1 \Rightarrow x \in \left \{ 1;2 \right \}$
* TH1 : $\left\{\begin{matrix} f(x,y,z)=1\\x=1 \end{matrix}\right.$. Có :
$f(1,y,z)=1+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}+\frac{1}{yz}=1$
$\Leftrightarrow \frac{2}{z}+\frac{2}{y}+\frac{1}{yz}=0$ (vô lí vì $y;z\in \mathbb{Z}^{+}$ )
Lí luận tương tự :
* TH2 : $\left\{\begin{matrix} f(x,y,z)=1\\ x=2 \end{matrix}\right.$. $\rightarrow$ $(x=2;y=4;z=14)$ $\rightarrow$ $(a=3;b=5;c=15)$.
* TH3 : $\left\{\begin{matrix} f(x,y,z)=2\\ x=1 \end{matrix}\right.$. $\rightarrow$ $(x=1;y=3;z=7)\rightarrow (a=2;b=4;c=8)$.
* TH4 : $\left\{\begin{matrix} f(x,y,z)=1\\ x=2 \end{matrix}\right.$. $\rightarrow$ vô nghiệm.
Vậy : $(a;b;c)=(3;5;15);(2;4;8)$ cùng các hoán vị.
$\blacksquare$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tquangmh: 25-08-2016 - 23:38
- tpdtthltvp và Nguyenngoctu thích
"Cuộc đời không giống như một quyển sách,đọc phần đầu là đoán được phần cuối.Cuộc đời bí ẩn và thú vị hơn nhiều ..." Kaitou Kid
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh