Đến nội dung

Hình ảnh

P=$\frac{3\sqrt{z}(x+z+2x\sqrt{xy})}{(x^2+y)\sqrt{2x^2+xz-y}}-\frac{2z\sqrt{z}}{(x+z)\sqrt{x^2-y}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết

Cho các số thực x,y,z thoả mãn

$x^2=x+y+z$

Tìm giá trị lớn nhất của

$\frac{3\sqrt{z}(x+z+2x\sqrt{xy})}{(x^2+y)\sqrt{2x^2+xz-y}}-\frac{2z\sqrt{z}}{(x+z)\sqrt{x^2-y}}$



#2
Dark Magician 2k2

Dark Magician 2k2

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 163 Bài viết

Cho các số thực x,y,z thoả mãn

$x^2=x+y+z$

Tìm giá trị lớn nhất của

$\frac{3\sqrt{z}(x+z+2x\sqrt{xy})}{(x^2+y)\sqrt{2x^2+xz-y}}-\frac{2z\sqrt{z}}{(x+z)\sqrt{x^2-y}}$

Dựa vào giả thiết, ta có các biến đổi sau

$\left\{\begin{matrix} x^2-y=x+z\\ 2x^2+xz-y=x^2+xz+x+z=(x+z)(x+1)\\ x^2+y=x+2y+z \end{matrix}\right.$

Khi đó, bất đẳng cần chứng minh trở thành

$P=\frac{3\sqrt{z}(x+z+2x\sqrt{xy})}{(x+2y+z)\sqrt{(x+z)(x+1)}}-\frac{2z\sqrt{z}}{\sqrt{(x+z)^3}}$

$=\sqrt{\frac{z}{x+z}}.(\frac{3(x+z+2x\sqrt{xy})}{(x+2y+z)\sqrt{x+1}}-\frac{2z}{x+z})$

Biến đổi từ giả thiết và Cauchy - Schwarz suy ra

$x+z+2x\sqrt{xy}=x+z+2\sqrt{xy(x+y+z)}\leq\sqrt{(x+1)((x+z)^2+4y(x+y+z))}=\sqrt{(x+1)(x+2y+z)^2}=(x+2y+z)\sqrt{x+1}$

Suy ra

$\frac{x+z+2x\sqrt{xy}}{(x+2y+z)\sqrt{x+1}}\leq 1$

Do đó

$P\leq\sqrt{\frac{z}{x+z}}.(3-\frac{2z}{x+z})\leq\sqrt{2}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{z}{x+z}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{x+z}{2\sqrt{y(x+y+z)}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\\ x^2=x+y+z \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=3$

Vậy $P_{Max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow x=y=z=3$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Magician 2k2: 26-08-2016 - 15:47





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh