Chủ đề này có 1 trả lời

[NTA1907]

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &2x^{2}\sqrt{xy}+x^{3}+y^{3}=4x^{2}y \\ &4x^{2}+(2x-5)\sqrt{4y+2}+17=(2y+3)\sqrt{6-4x} \end{matrix}\right.$

[An Infinitesimal]

Vào lúc 25 Tháng 8 2016 - 21:49, NTA1907 đã nói:
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} &2x^{2}\sqrt{xy}+x^{3}+y^{3}=4x^{2}y \\ &4x^{2}+(2x-5)\sqrt{4y+2}+17=(2y+3)\sqrt{6-4x}.\end{matrix}\right.$.

ĐK: $xy\ge 0, 2y+1\ge 0, 3-2x\ge 0.$
Trường hợp 1: $x\ge 0$ thì $y=x.$

(Nếu $x=0$ thì $y=0=x$. Nếu $x>0$ thì $y\ge 0$, dùng BĐT Cauchy cho "4 số" ở vế trái, ta suy ra $x=y$.)
....

PT2 được viết lại 

\[4x^{2}+(2x-5)\sqrt{4x+2}+17=(2x+3)\sqrt{6-4x}.\]

với $x\in [0, 3/2].$

\[\iff 4x^{2}+17=(5-2x)\sqrt{4x+2}+(2x+3)\sqrt{6-4x}.\]

Ta có $VT\ge 17, VP \le 16$ (phần chứng minh nằm trong hide.)

Nên hệ vô nghiệm.

Đặt $g(x)= (5-2x)\sqrt{4x+2}+(2x+3)\sqrt{6-4x}$ với $x\in [0, 3/2].$

Vì $g'(x)=- 3 \sqrt{2} \left(2 x - 1\right) \left(\frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} + \frac{1}{\sqrt{3 - 2 x}}\right)$ nên 

$g(x)\ le g(1/2)=16 \forall x\in [0,3/2].$

Trường hợp 2: $x< 0$

Chấp nhận trùng lắp ký hiệu như sau
$F(y)= 4x^{2}+(2x-5)\sqrt{4y+2}+17-(2y+3)\sqrt{6-4x}$ là hàm nghịch biến theo y trong miền $x, y$ xác định và xem $x$ cố định.
Suy ra $F(-1/2)\le 0.$
Suy ra $4x^{2}+17\le 2\sqrt{6-4x}.$
(Lúc này $x$ là "hoành độ nghiệm ")
Suy ra $4x^{2}+17\le 7-4x$. Vô lý. Suy ra hệ vô nghiệm trong trường hợp đang xét.

 

 

Vậy  hệ PT vô nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 26-08-2016 - 20:48