BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP THÀNH PHỐ
(Nguồn: Anh Trần Quốc Hưng- Học sinh trường THPT chuyên Lê Quý Đôn- Đà Nẵng)
Bài 1: Cho $a,b,c>0$. Tìm GTNN của biểu thức: $P=\frac{b^3}{a(b^2+c^2)}+\frac{ca^2}{b(a^2+b^2)}+\frac{5ac}{(a+c)^2}-\frac{6\sqrt{ac}}{a+c}$
Bài 2: Cho $a,b,c\in (0;+\infty)$ thỏa mãn: $a+b+1=c$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ac}+\frac{c^2+16}{\sqrt{c+ab}}$.
Bài 3: Cho $a,b,c\in (0;+\infty)$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{3}{2a+b+\sqrt{8bc}}+\frac{8}{\sqrt{2b^2+2(a+c)^2}+3}-\frac{1}{a+b+c}$
Bài 4: Chi $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn: $2x^2+y^2-6x+4y+2xy+4\le 0$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}-2\sqrt{x+y}+2015$.
Bài 5: Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{1}{2}(\frac{x}{y+z})+\frac{1}{3}(\frac{y}{x+z})^3+(1+\sqrt{2})(\frac{z}{x+y})^2$.
Bài 6: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $2a=a^2+\sqrt{bc}$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{2a^2-3a+bc}{2bc}+\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(a+c)^2}$.
Bài 7: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn: $x+4y-3z\ge 0$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{x}{20y+3z}+\frac{2y}{x+2y+3z}+\frac{x+4y}{2x+6y}$.
Bài 8: Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn: $(a+2c)(b+2c)=16c^2$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{128a^4}{(b+6c)^4}+\frac{128b^4}{(a+6c)^4}+\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}$
Bài 9: Cho các số thực không âm thỏa: $a+b\ge c^2;c>0$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c})^2-\sqrt{\frac{2c}{c+1}}+2$.
Bài 10: Cho các số thực dương $a,b,c$. Tìm GTLN của biểu thức:
$P=\frac{5}{\sqrt{a^2+2b^2+5c^2+3}+1}-\frac{4}{ab+bc+ca+1}$.
Bài 11: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=38$. Tìm GTLN của biểu thức:
$P=\frac{x}{x^2+yz+19}-\frac{1}{4x(y+z)}+\frac{2}{25-5\sqrt{10(x+y+z)}}.$
Bài 12: Cho $a,b\in R$ thỏa mãn: $a,b\ne 0;2ab=(a^2+b^2)(ab+1)$.
Tìm GTNN của $P=\frac{a^4+b^4+2(1-a^2)(1-b^2)}{a^2+b^2}$.
Bài 13: Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=5$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=(3x^2+3y^2+z^2)(\sqrt{3x^2+3y^2+z^2-1}-3)+2\sqrt{2(2(x^4+y^4))}+x^2+y^2+z^2 $.
Bài 14: Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a,b\in[\frac{c}{4};c]$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{c}{3a+2c}+\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}$.
Bài 15: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn: $xy+yz+zx=1$. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{z^2+x^2}+\frac{5}{2}(x+1)(y+1)(z+1)$.
Bài 16: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn: $5(x^2+y^2+z^2)=6(xy+yz+zx)$. Tìm GTLN của biểu thức:
$P=\sqrt{2(x+y+z)}-(y^2+z^2)$.
Bài 17: Cho $x,y,z$ là các số thực dương. Tìm GTNN của:
$P=\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}-\frac{4(y-z)^2}{x+y+z}+\frac{1}{4\sqrt{x+y+z}}$.
