Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho $n^{5}+n^{4}+1$ có duy nhất một ước chung nguyên tố
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lqhung2112: 28-08-2016 - 21:51
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho $n^{5}+n^{4}+1$ có duy nhất một ước chung nguyên tố
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lqhung2112: 28-08-2016 - 21:51
chẳng hiểu cái đề như thế nào
Ta cần tìm n sao cho $n^{5}+n^{4}+1$=$p^{k}$ ($p$ là số nguyên tố)
Ta có: $n^{5}+n^{4}+1=n^{5}+n^{4}+n^{3}-n^{3}+n^{2}-n^{2}+n-n+1=n^{3}(n^{2}+n+1)-n(n^{2}+n+1)+n^{2}+n+1=(n^{3}-n+1)(n^{2}+n+1)$
Xét trường hợp $n>2$:
Dễ thấy $n^{3}-n+1>n^{2}+n+1$
Mặt khác $n^{3}-n+1=(n-1)(n^{2}+n+1)-(n-2)$ không chia hết cho $n^{2}+n+1$ (vì $n-2$< $n^{2}+n+1$)
Vậy $n^{2}+n+1=1$ $\Leftrightarrow n=0$( loại vì $n>2$)
Xét trường hợp $n\leq 2$, thử trực tiếp: Với $n=1,n=2$ đều thỏa mãn
Vậy $n=1,2$ là các số tự nhiên thỏa mãn.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh