Đầu tiên , ta nhắc lại BĐT Côsi quá quen thuộc :
$1$, $\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\geq ab\Leftrightarrow (a-b)^{2}\geq 0$. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b$
Những BĐT mở rộng khác của BĐT Côsi :
Với $a,b,c> 0$ ta có :
$2$, $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$
$3$, $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4 }{a+b}$
$4$, $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq a+b+c$
$5$, $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$
$6$, $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca$
$7$, $\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}\geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$
Những BĐT này khá quen thuộc và chứng minh dễ dàng bằng BĐT Côsi hoặc chứng minh tương đương.
Nảy sinh từ các BĐT này cùng với BĐT đơn giản là :
Nếu $k\geq 0$ thì $(1-\alpha )k\geq 0 (0\leq \alpha \leq 1)$
Ta xây dựng được những BĐT mạnh hơn :
Với $a,b,c> 0;0\leq \alpha ,\beta ,\gamma \leq 1$
$\bullet$ $a^{2}+b^{2}\geq 2ab+\alpha (a-b)^{2}$ (1)
$\bullet$ $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca+\frac{\alpha }{2}(a-b)^{2}+\frac{\beta }{2}(b-c)^{2}+\frac{\gamma }{2}(c-a)^{2}$ (2)
BĐT $(1)\Leftrightarrow (1-\alpha )(a-b)^{2}\geq 0$
Cộng từng vế của các BĐT
$a^{2}+b^{2}\geq 2ab+\alpha (a-b)^{2}$
$b^{2}+c^{2}\geq 2bc+\beta (b-c)^{2}$
$c^{2}+a^{2}\geq 2ca+\gamma(c-a)^{2}$
Ta được BĐT (2).
$\bullet$ $\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq (a+b+c)+\frac{\alpha }{b}(a-b)^{2}+\frac{\beta }{c}(b-c)^{2}+\frac{\gamma }{a}(c-a)^{2}$ (3)
Cộng từng vế các BĐT :
$\frac{a^{2}}{b}+b\geq 2a+\frac{\alpha }{b}(a-b)^{2}$
$\frac{b^{2}}{c}+c\geq 2b+\frac{\beta }{c}(b-c)^{2}$
$\frac{c^{2}}{a}+a\geq 2a+\frac{\gamma }{a}(c-a)^{2}$
Ta được BĐT (3)
$\bullet$ $a^{m+n}+b^{m+n}\geq \frac{1}{2}(a^{m}+b^{m})(a^{n}+b^{n})+\frac{\alpha }{2}(a^{m}-b^{m})(a^{n}-b^{n})$ (4)
$BĐT\Leftrightarrow (1-\alpha )(a^{m}-b^{m})(a^{n}-b^{n})$
$\bullet$ $a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)+\frac{2\alpha }{3}(a^{2}-b^{2})(a-b)$ (5)
Chứng minh : Ta có $\frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{3}+\frac{\alpha }{4}(a^{2}-b^{2})(a-b)$
$\Leftrightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geq a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)+2\alpha (a^{2}-b^{2})(a-b)$
$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)+\frac{2\alpha }{3}(a^{2}-b^{2})(a-b)$ (ĐPCM)
$\bullet$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4-8\alpha }{a+b}+\frac{4\alpha }{\sqrt{ab}}$ (6)
Chứng minh : Nhân theo vế của $2$ BĐT :
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{\sqrt{ab}}+\alpha (\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}})^{2}$
$a+b\geq 2\sqrt{ab}+\alpha (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}$
Ta được $(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)\geq 4+\frac{2\alpha }{\sqrt{ab}}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}+2\alpha \sqrt{ab}(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}})^{2}+\alpha ^{2}(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}})^{2}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}$
$\Rightarrow (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)\geq 4+\frac{4\alpha }{\sqrt{ab}}(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}=4+\frac{4\alpha }{\sqrt{ab}}(a+b-2\sqrt{ab})\geq 4-8\alpha +\frac{4\alpha (a+b)}{\sqrt{ab}}$
Suy ra ĐPCM
$\bullet$ $\frac{a^{3}}{b}+\frac{b^{3}}{c}+\frac{c^{3}}{a}\geq ab+bc+ca+\frac{2\alpha }{3b}(a^{2}-b^{2})(a-b)+\frac{2\beta }{3c}(b^{2}-c^{2})(b-c)+\frac{2\gamma }{3a}(c^{2}-a^{2})(c-a)$ (7)
Cộng vế với vế các BĐT : (áp dụng BĐT (5) )
$\frac{a^{3}}{b}+b^{2}\geq a^{2}+ab+\frac{2\alpha }{3b}(a^{2}-b^{2})(a-b)$
$\frac{b^{3}}{c}+c^{2}\geq b^{2}+bc+\frac{2\beta }{3c}(b^{2}-c^{2})(b-c)$
$\frac{c^{3}}{a}+a^{2}\geq c^{2}+ca+\frac{2\gamma }{3a}(c^{2}-a^{2})(c-a)$
Thu được BĐT (7)
Bài tập áp dụng :
Bài tập $1$ : Với $0< a,b,c\leq 1$ , chứng minh rằng :
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca+\frac{1}{3}(a-b)^{2}+\frac{1}{4}(b-c)^{2}+\frac{1}{5}(c-a)^{2}$
Làm trước $1$ bài nhé :
Sử dụng BĐT (2) , ta chọn $\alpha =\frac{2}{3},\beta =\frac{1}{2},\gamma =\frac{2}{5}$
Bài tập $2$ : Với $0< a,b,c\leq 1$ chứng minh :
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca+\frac{a(a-b)^{2}}{2(a+b)}+\frac{b(b-c)^{2}}{2(b+c)}+\frac{c(c-a)^{2}}{2(c+a)}$
Bài tập $3$ : Với $a\geq 2b\geq 4c> 0$ , chứng minh
$a^{2}+3b^{2}+5c^{2}\geq 2(ab+bc+ca)+\frac{1}{a}(b^{3}+c^{3})+\frac{c^{3}}{b}$
Bài tập $4$ : Với $a,b,c> 0,a+b+c=1$. Chứng minh rằng :
$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq 1+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$
Bài tập $5$ : Với $a,b,c> 0$ , chứng minh rằng :
$\sum \sqrt[3]{2(a^{3}+b^{3})-a(a-b)^{2}}\geq \sqrt[3]{4}(a+b+c)$
Bài tập $6$ : Với $a,b,c> 0,\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=3$ . Chứng minh rằng :
$P=2(\sum \frac{1}{a+b})+5(\sum \frac{1}{\sqrt{ab}})\leq 18$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LTTK: 27-08-2016 - 13:16
Solved
