Chủ đề này có 1 trả lời

[traitimcamk7a]

Cho số thực a thuộc (0;1), xet day $(u_n)$ voi.

$\left\{\begin{array}{1}u_1 =a \\ u_{n+1} = \frac{1}{2017} u^2_n +\frac{2016}{2017}\sqrt{u_n}, n thuoc N^*  \end{array}\right.$

a) chứng minh rằng: $0<u_n<1$, mọi n thuộc $N^*$.

b) Chứng minh $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

 

[rfiyms]

Cho số thực a thuộc (0;1), xet day $(u_n)$ voi.

$\left\{\begin{array}{1}u_1 =a \\ u_{n+1} = \frac{1}{2017} u^2_n +\frac{2016}{2017}\sqrt{u_n}, n thuoc N^*  \end{array}\right.$

a) chứng minh rằng: $0<u_n<1$, mọi n thuộc $N^*$.

b) Chứng minh $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

a) Ta có $u_{1}=a\in \left ( 0;1 \right )$.

Giả sử $u_{n}\in \left ( 0;1 \right )$ ta sẽ chứng minh $u_{n+1}\in \left ( 0;1 \right )$.

Thật vậy ta có:

$$0<u_{n+1}=\dfrac{1}{2017}u_{n}^{2}+\dfrac{2016}{2017}\sqrt{u_{n}}<\dfrac{1}{2017}.1^{2}+\dfrac{2016}{2017}.\sqrt{1}=1$$

Vậy ta luôn có $0<u_{n}<1$ với mọi $n\in \mathbb{N^{*}}$.

b) Ta có:

\begin{align*} u_{n+1}-u_{n} &=\dfrac{1}{2017}u_{n}^{2}-u_{n}+\dfrac{2016}{2017}\sqrt{u_{n}} \\ &=\dfrac{x}{2017}\left ( x^{3}-2017x+2016 \right ) \\ &=\dfrac{x\left ( x-1 \right )\left ( x^{2}+x-2016 \right )}{2017}>0, \,\,\,\, \forall x=u_{n}\in \left ( 0;1 \right ) \end{align*}

Do đó $\left ( u_{n} \right )$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi $1$ nên dãy có giới hạn hữu hạn.

Ta có:

$$\lim _{n\rightarrow +\infty }u_{n}=\lim _{n\rightarrow +\infty }u_{n}\left ( \dfrac{1}{2017}u_{n}^{2}+\dfrac{2016}{2017}\sqrt{u_{n}} \right )$$

Đặt $\lim _{n\rightarrow +\infty }u_{n}=x\in \left ( 0;1 \right )$ thì ta có:

$$x=\dfrac{1}{2017}x^{2}+\dfrac{2016}{2017}\sqrt{x}$$

$$\Leftrightarrow x=1$$

Vậy $\lim _{n\rightarrow +\infty }u_{n}=1$.