Chủ đề này có 1 trả lời

[01634908884]

Tìm tất cả số n thuộc N ,n>1 sao cho mọi ước nguyên tố của $n^{6}-1$ đều là ước nguyên tố của $(n^{3}-1)(n^{2}-1)$

[L Lawliet]

Tìm tất cả số n thuộc N ,n>1 sao cho mọi ước nguyên tố của $n^{6}-1$ đều là ước nguyên tố của $(n^{3}-1)(n^{2}-1)$

Lời giải.

Ta có:

$$\left ( n^{3}-1 \right )\left ( n^{2}-1 \right )=\left ( n-1 \right )^{2}\left ( n+1 \right )\left ( n^{2}+n+1 \right )$$

Gọi $d=\gcd (n^{2}-n+1;n-1)\Rightarrow d\mid n^{2}-n+1-n\left ( n-1 \right )\Rightarrow d\mid 1\Rightarrow d=1$.

Gọi $e=\gcd (n^{2}-n+1;n^{2}+n+1)$, $e$ lẻ. Ta có:

$$e\mid \left ( n^{2}-n+1 \right )-\left ( n^{2}+n+1 \right )\Rightarrow e\mid 2n\Rightarrow e\mid n\Rightarrow e\mid \left ( n^{2}-n+1 \right )-n\left ( n-1 \right )\Rightarrow e\mid 1\Rightarrow e=1$$

Gọi $f=\gcd (n^{2}-n+1;n+1)$, $f$ lẻ. Ta có:

$$f\mid \left ( n^{2}-n+1 \right )-n\left ( n+1 \right )\Rightarrow f\mid 1-2n\Rightarrow f\mid \left ( 1-2n \right )+2\left ( n+1 \right )\Rightarrow f\mid 3\Rightarrow f\in \left \{ 1;3 \right \}$$

- Với $f=1$ thì ta có $\gcd (n^{2}-n+1;n+1)=1$.

Do đó $n^{2}-n+1$ nguyên tố cùng nhau với mọi ước của $\left ( n^{3}-1 \right )\left ( n^{2}-1 \right )$.

Gọi $p$ là ước nguyên tố của $n^{2}-n+1$ thì $p\nmid \left ( n^{3}-1 \right )\left ( n^{2}-1 \right )$.

Mà $n^{2}-n+1\mid n^{6}-1\Rightarrow p\mid n^{6}-1\Rightarrow p\mid \left ( n^{3}-1 \right )\left ( n^{2}-1 \right )$ - mâu thuẫn, loại.

- Với $f=3$ ta có:

$$3\mid n+1\Rightarrow n=3k+2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} n^{2}-n+1=3\left ( 3k^{2}+3k+1 \right ) \\ n+1=3\left ( k+1 \right ) \end{matrix}\right., \,\,\,\, k\in \mathbb{N}$$

Theo giả thuyết thì mọi ước nguyên tố của $n^{6}-1$ đều là ước nguyên tố của $\left ( n^{3}-1 \right )\left ( n^{2}-1 \right )$ nên mọi ước nguyên tố của $n^{2}-n+1$ đều là ước nguyên tố của $\left ( n^{3}-1 \right )\left ( n^{2}-1 \right )=\left ( n-1 \right )^{2}\left ( n+1 \right )\left ( n^{2}+n+1 \right )$.

Mặc khác theo chứng minh trên $n^{2}-n+1$ nguyên tố cùng nhau với $n-1$ và $n^{2}+n+1$ nên mọi ước nguyên tố của $n^{2}-n+1$ là ước nguyên tố của $n+1$.

Suy ra ước nguyên tố của $3k^{2}+3k+1$ là ước của $3\left ( k+1 \right )$.

Mà $\gcd (3k^{2}+3k+1;k+1)=1$ nên mọi ước nguyên tố của $3k^{2}+3k+1$ là ước của $3$.

Suy ra $3k^{2}+3k+1=3^{x}$ với $x\in \mathbb{N}$.

Nếu $x\geq 1$ thì $3\mid 3^{x}$ nhưng $3\nmid 3k^{2}+3k+1$ - mâu thuẫn.

Do đó $x=0$, khi đó ta được $k=0$ và $n=2$.

Vậy $n=2$ là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.