Chủ đề này có 6 trả lời

[anonymousperson]

cho x, y, z là các số dương. Hãy sử dụng bất đẳng thức cauchy để chứng minh:

$\frac{x^{2}}{x^{2}+2yz}+\frac{y^{2}}{y^{2}+2zx}+\frac{z^{2}}{z^{2}+2xy}\geq 1$

[vamath16]

mình mới tập gõ

$2xy\leq x^{2}+y^{2} \Rightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}+2xy}\geq \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} chứng minh tương tự cộng vế theo vế ta có đpcm$

[The Flash]

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $2yz\leq y^2+z^2$;$2xy\leq x^2+y^2;2zx\leq z^2+x^2$

Do đó: $\frac{x^{2}}{x^{2}+2yz}+\frac{y^{2}}{y^{2}+2zx}+\frac{z^{2}}{z^{2}+2xy}$

$=\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}=1$

Đẳng thức xảy ra khi x=y=z.

[anonymousperson]

mình mới tập gõ

$2xy\leq x^{2}+y^{2} \Rightarrow \frac{x^{2}}{y^{2}+2xy}\geq \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} chứng minh tương tự cộng vế theo vế ta có đpcm$

thanks nha

[anonymousperson]

các bạn giúp mình bài này nữa nhé:

sử dung bđt cauchy để chứng minh:

$\frac{2x}{x^{6}+y^{4}}+\frac{2y}{y^{6}+z^{4}}+\frac{2z}{z^{6}+x^{4}}\leq \frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{y^{4}}+\frac{1}{z^{4}}$

[vamath16]

áp dụng bđt cô si ta có

$x^{6}+y^{4}\geq 2x^{3}y^{2}$

suy ra

 

$\frac{2x}{x^{6}+y^{6}}\leq \frac{1}{x^{2}y^{2}}$

cm tương tự rồi cộng 3 cái vế theo vế ta có

$\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4} \leq \frac{1}{x^{2}y^{2}}+\frac{1}{y^2z^{2}}+\frac{1}{x^2z^2}$

đến đây áp dụng bđt $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$$

ta có

$\frac{1}{x^{2}y^{2}}+\frac{1}{y^2z^{2}}+\frac{1}{x^2z^2}\leq \frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}$(suy ra đpcm)

P/s:bạn học lớp mấy vậy mình 8 lên 9 có gì trao đổi nha

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vamath16: 28-08-2016 - 14:53

[anonymousperson]

áp dụng bđt cô si ta có

$x^{6}+y^{4}\geq 2x^{3}y^{2}$

suy ra

 

$\frac{2x}{x^{6}+y^{6}}\leq \frac{1}{x^{2}y^{2}}$

cm tương tự rồi cộng 3 cái vế theo vế ta có

$\frac{2x}{x^6+y^4}+\frac{2y}{y^6+z^4}+\frac{2z}{z^6+x^4} \leq \frac{1}{x^{2}y^{2}}+\frac{1}{y^2z^{2}}+\frac{1}{x^2z^2}$

đến đây áp dụng bđt $ab+bc+ca\leq a^2+b^2+c^2$$

ta có

$\frac{1}{x^{2}y^{2}}+\frac{1}{y^2z^{2}}+\frac{1}{x^2z^2}\leq \frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^4}+\frac{1}{z^4}$(suy ra đpcm)

P/s:bạn học lớp mấy vậy mình 8 lên 9 có gì trao đổi nha

ừ, mình cũng lớp 8 lên lớp 9