Chủ đề này có 3 trả lời

[leminhnghiatt]

Giải phương trình: $$\left\{\begin{matrix} 56x^3(x-y)-48x^3y+6x^3+2y^3=2x^2y+6xy^2+24xy^3-72x^2y^2 \\ 28x^3+12xy^2-7x^2=24x^2y-6xy-3y^2 \end{matrix}\right.$$

[An Infinitesimal]

Giải phương trình: $$\left\{\begin{matrix} 56x^3(x-y)-48x^3y+6x^3+2y^3=2x^2y+6xy^2+24xy^3-72x^2y^2 \\ 28x^3+12xy^2-7x^2=24x^2y-6xy-3y^2 \end{matrix}\right.$$

Nhận xét: hệ có thể qui về hệ đẳng cấp.

 

Hệ $$\iff \left\{\begin{matrix} 56x^3(x-y)-48x^3y-24xy^3+72x^2y^2=2x^2y+6xy^2-6x^3-2y^3 \\ 28x^3+12xy^2-24x^2y=7x^2-6xy-3y^2 \end{matrix}\right.$$

 

$$\iff \left\{\begin{matrix} 8x(x - y)(7x^2 - 6xy + 3y^2)=-2(x - y)(3x - y)(x + y) \\ 28x^3+12xy^2-24x^2y=7x^2-6xy-3y^2 \end{matrix}\right.$$

 

 

Trường hợp 1: $x=y$

Phương trình thứ 2 được viết lại

\[2x^2(8x + 1)=0.\]

Trường hợp này hệ chỉ có nghiệm $(x_1,y_2)=(0,0) \vee  (x_2,y_2)=(-1/8, -1/8).$

 

Trường hợp 2: $x\neq y$

 

Hệ $$\iff \left\{\begin{matrix} 8x(7x^2 - 6xy + 3y^2)=-2(3x - y)(x + y)  (*)\\ 28x^3+12xy^2-24x^2y=7x^2-6xy-3y^2 \end{matrix}\right.$$

"Suy ra" 

\[8x(7x^2 - 6xy + 3y^2) (7x^2-6xy-3y^2)=-2(3x - y)(x + y)(28x^3+12xy^2-24x^2y).\]

\[\iff 16x(5x^2 - 2xy - 2y^2)(7x^2 - 6xy + 3y^2)=0.\]

(Vì $x\neq y$)

\[\iff x=0 \vee (5x^2 - 2xy - 2y^2)=0.\]

Nếu $x=0$ thì $y=0=x$ (loại).

Nếu $x=  \frac{1+\sqrt{11}}{5}y\neq 0$  thì 

 

\[y^2 \left(y + \frac{125 \sqrt{11}}{4424} + \frac{835}{4424}\right) =0.\]

 

Do đó $y_3=  - \frac{835+125 \sqrt{11}}{4424}$ và $x_3=- \frac{221+96\, \sqrt{11}}{2212}.$

 

Nếu $x=  \frac{1-\sqrt{11}}{5}y\neq 0$  thì 

\[- y^2  \left(y - \frac{125 \sqrt{11}}{4424} + \frac{835}{4424}\right)=0.\]

Do đó $y_4=\frac{125\, \sqrt{11}-835}{4424}$ và $x_4=\frac{96\sqrt{11}-212}{2212}$

 

Vậy hệ có 4 nghiệm $(x_i,y_i)$ với $i=\overline{1,4}.$

[leminhnghiatt]

Nhận xét: hệ có thể qui về hệ đẳng cấp.

 

Hệ $$\iff \left\{\begin{matrix} 56x^3(x-y)-48x^3y-24xy^3+72x^2y^2=2x^2y+6xy^2-6x^3-2y^3 \\ 28x^3+12xy^2-24x^2y=7x^2-6xy-3y^2 \end{matrix}\right.$$

 

$$\iff \left\{\begin{matrix} 8x(x - y)(7x^2 - 6xy + 3y^2)=-2(x - y)(3x - y)(x + y) \\ 28x^3+12xy^2-24x^2y=7x^2-6xy-3y^2 \end{matrix}\right.$$

 

 

Trường hợp 1: $x=y$

Phương trình thứ 2 được viết lại

\[2x^2(8x + 1)=0.\]

Trường hợp này hệ chỉ có nghiệm $(x_1,y_2)=(0,0) \vee  (x_2,y_2)=(-1/8, -1/8).$

 

Trường hợp 2: $x\neq y$

 

Em có cách này có thể ngắn gọn hơn nhưng chỉ hơn nhau 1 bước

 

$(1) \iff (x-y)(24xy^2-2y^2-48x^2y+4xy+56x^3+6x^2)=0$

 

Xét TH2 ta có hê:

 

$\left\{\begin{matrix} 24xy^2-2y^2-48x^2y+4xy+56x^3+6x^2 \\ 28x^3+12xy^2-7x^2-24x^2y+6xy+3y^2=0 \end{matrix}\right.$

 

$PT(1)-2PT(2) \iff 5x^2-2xy-2y^2=0$

 

...

[An Infinitesimal]

Em có cách này có thể ngắn gọn hơn nhưng chỉ hơn nhau 1 bước

 

$(1) \iff (x-y)(24xy^2-2y^2-48x^2y+4xy+56x^3+6x^2)=0$

 

Xét TH2 ta có hê:

 

Nhận xét: hệ có thể qui về hệ đẳng cấp.

 

Hệ $$\iff \left\{\begin{matrix} 56x^3(x-y)-48x^3y-24xy^3+72x^2y^2=2x^2y+6xy^2-6x^3-2y^3 \\ 28x^3+12xy^2-24x^2y=7x^2-6xy-3y^2 \end{matrix}\right.$$

 

$$\iff \left\{\begin{matrix} 8x(x - y)(7x^2 - 6xy + 3y^2)=-2(x - y)(3x - y)(x + y) \\ 28x^3+12xy^2-24x^2y=7x^2-6xy-3y^2 \end{matrix}\right.$$

 

 

$\left\{\begin{matrix} 24xy^2-2y^2-48x^2y+4xy+56x^3+6x^2 \\ 28x^3+12xy^2-7x^2-24x^2y+6xy+3y^2=0 \end{matrix}\right.$

 

$PT(1)-2PT(2) \iff 5x^2-2xy-2y^2=0$

 

...

Có những điểm đặc biệt của hệ không lưu tâm! Anh chỉ để ý đến "$(7x^2 - 6xy + 3y^2)$" và "$(7x^2-6xy-3y^2)$" gần gần nhau.