Đến nội dung

Hình ảnh

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}+x^{2}(y+z)=xyz+14\\y^{3}+z^{3}+y^{2}(z+x)=xyz−21 \\ ........................ \end{matrix}\right.$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Jinbei

Jinbei

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 38 Bài viết

Giải hệ : 

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}+x^{2}(y+z)=xyz+14\\y^{3}+z^{3}+y^{2}(z+x)=xyz−21 \\ z^{3}+x^{3}+z^{2}(x+y)=xyz+7 \end{matrix}\right.$



#2
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

Giải hệ : 

$\left\{\begin{matrix} x^{3}+y^{3}+x^{2}(y+z)=xyz+14\\y^{3}+z^{3}+y^{2}(z+x)=xyz−21 \\ z^{3}+x^{3}+z^{2}(x+y)=xyz+7 \end{matrix}\right.$

Lời giải.

Cộng vế theo vế ba phương trình ta được:

$$2\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )+x^{2}\left ( y+z \right )+y^{2}\left ( z+x \right )+z^{2}\left ( x+y \right )=3xyz$$

$$\Leftrightarrow \left ( x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz \right )+\left [ x^{3}+x^{2}\left ( y+z \right ) \right ]+\left [ y^{3}+y^{2}\left ( z+x \right ) \right ]+\left [ z^{3}+z^{2}\left ( x+y \right ) \right ]=0$$
$$\Leftrightarrow \left ( x+y+z \right )\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx \right )+x^{2}\left ( x+y+z \right )+y^{2}\left ( x+y+z \right )+z^{2}\left ( x+y+z \right )=0$$
$$\Leftrightarrow \left ( x+y+z \right )\left ( 2x^{2}+2y^{2}+2z^{2}-xy-yz-zx \right )=0$$
$$\Leftrightarrow x+y+z=0$$
Khi đó hệ trở thành:
$$\left\{\begin{matrix} x^{3}=xyz+7 \\ y^{3}=xyz+14 \\ z^{3}=xyz-21 \end{matrix}\right.$$
Nhân vế theo vế ba phương trình trên ta được:
$$\left ( xyz \right )^{3}=\left ( xyz+7 \right )\left ( xyz+14 \right )\left ( xyz-21 \right )$$
$$\Leftrightarrow xyz=-6$$
Thay vào hệ ta được:
$$\left\{\begin{matrix} x^{3}=1 \\ y^{3}=8 \\ z^{3}=-27 \end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 \\ y=2 \\ z=-3 \end{matrix}\right.$$
Vậy hệ có nghiệm $\left ( x;y;z \right )=\left ( 1;2;-3 \right )$.

Thích ngủ.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh