Chủ đề này có 4 trả lời

[doanminhhien127]

Chứng minh rằng: $x^{3}+y^{3}\geq x^{2}y+xy^{2}, x,y\geq 0$

[L Lawliet]

Chứng minh rằng: $x^{3}+y^{3}\geq x^{2}y+xy^{2}, x,y\geq 0$

Lời giải.

Theo AM-GM ta có:

$$x^{3}+x^{3}+y^{3}\geq 3\sqrt[3]{x^{6}y^{3}}=3x^{2}y$$

$$x^{3}+y^{3}+y^{3}\geq 3xy^{2}$$

$$\Rightarrow 3\left ( x^{3}+y^{3} \right )\geq 3\left ( x^{2}y+xy^{2} \right )$$

$$\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}\geq x^{2}y+xy^{2}$$

[doanminhhien127]

 

Lời giải.

Theo AM-GM ta có:

$$x^{3}+x^{3}+y^{3}\geq 3\sqrt[3]{x^{6}y^{3}}=3x^{2}y$$

 Vì sao $3\sqrt[3]{x^{6}y^{3}}= 3x^{2}y$ vậy bạn

[superpower]

Chứng minh rằng: $x^{3}+y^{3}\geq x^{2}y+xy^{2}, x,y\geq 0$

Cách khác

Ta có 

$x^3-x^2y + y^3 - xy^2 = x^2(x-y) + y^2(y-x) = (x-y)(x^2-y^2)=  (x-y)^2(x+y) \geq 0 $

[Baoriven]

Ta có thể biến đổi tương đương:

$x^3+y^3\geq x^2y+xy^2\Leftrightarrow x^2-xy+y^2\geq xy\Leftrightarrow (x-y)^2\geq 0,(Q.E.D)$