$\sum \frac{a^4}{1+a^2b}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$ (a,b,c>0)
$\sum \frac{a^4}{1+a^2b}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$
#1
Posted 28-08-2016 - 17:37
#2
Posted 28-08-2016 - 18:05
$\sum \frac{a^4}{1+a^2b}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$ (a,b,c>0)
Ta chuẩn hoá $abc=1$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\sum \frac{a^{4}}{1+a^{2}b}\geq \frac{a+b+c}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
$\sum \frac{a^{4}}{1+a^{2}b}=\sum \frac{a^{3}}{b(c+a)}=\sum \frac{\frac{a^{4}}{ab}}{c+a}\geq \frac{\left ( \sum \frac{a^{2}}{\sqrt{ab}} \right )^{2}}{2(a+b+c)}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^{4}}{(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}}}{2(a+b+c)}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^{4}}{3(ab+bc+ca)}}{2(a+b+c)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}$
- CaptainCuong likes this
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#3
Posted 28-08-2016 - 18:38
Ta chuẩn hoá $abc=1$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\sum \frac{a^{4}}{1+a^{2}b}\geq \frac{a+b+c}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
$\sum \frac{a^{4}}{1+a^{2}b}=\sum \frac{a^{3}}{b(c+a)}=\sum \frac{\frac{a^{4}}{ab}}{c+a}\geq \frac{\left ( \sum \frac{a^{2}}{\sqrt{ab}} \right )^{2}}{2(a+b+c)}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^{4}}{(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}}}{2(a+b+c)}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^{4}}{3(ab+bc+ca)}}{2(a+b+c)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}$tại
tại sao có thể chuẩn hóa đc ??
#4
Posted 28-08-2016 - 19:05
tại sao có thể chuẩn hóa đc ??
Đây là bất đẳng thức thuần nhất
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users