$\sum \frac{a^4}{1+a^2b}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$ (a,b,c>0)
$\sum \frac{a^4}{1+a^2b}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$
#1
Đã gửi 28-08-2016 - 17:37
#2
Đã gửi 28-08-2016 - 18:05
$\sum \frac{a^4}{1+a^2b}\geq \frac{abc(a+b+c)}{1+abc}$ (a,b,c>0)
Ta chuẩn hoá $abc=1$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\sum \frac{a^{4}}{1+a^{2}b}\geq \frac{a+b+c}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
$\sum \frac{a^{4}}{1+a^{2}b}=\sum \frac{a^{3}}{b(c+a)}=\sum \frac{\frac{a^{4}}{ab}}{c+a}\geq \frac{\left ( \sum \frac{a^{2}}{\sqrt{ab}} \right )^{2}}{2(a+b+c)}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^{4}}{(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}}}{2(a+b+c)}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^{4}}{3(ab+bc+ca)}}{2(a+b+c)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}$
- CaptainCuong yêu thích
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
#3
Đã gửi 28-08-2016 - 18:38
Ta chuẩn hoá $abc=1$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$\sum \frac{a^{4}}{1+a^{2}b}\geq \frac{a+b+c}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
$\sum \frac{a^{4}}{1+a^{2}b}=\sum \frac{a^{3}}{b(c+a)}=\sum \frac{\frac{a^{4}}{ab}}{c+a}\geq \frac{\left ( \sum \frac{a^{2}}{\sqrt{ab}} \right )^{2}}{2(a+b+c)}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^{4}}{(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}}}{2(a+b+c)}\geq \frac{\frac{(a+b+c)^{4}}{3(ab+bc+ca)}}{2(a+b+c)}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}$tại
tại sao có thể chuẩn hóa đc ??
#4
Đã gửi 28-08-2016 - 19:05
tại sao có thể chuẩn hóa đc ??
Đây là bất đẳng thức thuần nhất
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh