Chủ đề này có 1 trả lời

[KaveZS]

Tìm số n nguyên dương sao cho :

$C_{2n+1}^{1}-2.2C_{2n+1}^{2} + 3.2^{2}C_{2n+1}^{3}-4.2^{3}C_{2n+1}^{4}+...+(2n+1).2^{2n}C_{2n+1}^{2n+1}=2015$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KaveZS: 29-08-2016 - 00:11

[L Lawliet]

Tìm số n nguyên dương sao cho :

$C_{2n+1}^{1}-2.2C_{2n+1}^{2} + 3.2^{2}C_{2n+1}^{3}-4.2^{3}C_{2n+1}^{4}+...+(2n+1).2^{2n}C_{2n+1}^{2n+1}=2015$

Lời giải.

Khai triển nhị thức Newton cho $\left ( 1-x \right )^{2n+1}$ ta được:

$$\left ( 1-x \right )^{2n+1}=C_{2n+1}^{0}-xC_{2n+1}^{1}+x^{2}C_{2n+1}^{2}-...-x^{2n+1}C_{2n+1}^{2n+1}$$

Đạo hàm hai vế theo $x$ ta được:

$$-\left ( 2n+1 \right )\left ( 1-x \right )^{2n}=-C_{2n+1}^{1}+2xC_{2n+1}^{2}-...-\left ( 2n+1 \right )x^{2n}C_{2n+1}^{2n+1}$$

$$\Leftrightarrow \left ( 2n+1 \right )\left ( 1-x \right )^{2n}=C_{2n+1}^{1}-2xC_{2n+1}^{2}+...+\left ( 2n+1 \right )x^{2n}C_{2n+1}^{2n+1}$$

Thay $x=2$ ta được:

$$C_{2n+1}^{1}-2.2C_{2n+1}^{2}+3.2^{2}C_{2n+1}^{3}-4.2^{3}C_{2n+1}^{4}+...+\left ( 2n+1 \right ).2^{2n}C_{2n+1}^{2n+1}=2n+1$$

$$\Leftrightarrow 2015=2n+1$$

$$\Leftrightarrow n=1007$$