cho P=$\frac{1}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x+y+z}$12−1x−1x+y−1x+y+z . Tìm x,y,z ϵZ+ϵZ+ để P dương nhỏ nhất
Tìm min $P=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x+y+z}$
#1
Đã gửi 29-08-2016 - 10:51
#2
Đã gửi 29-08-2016 - 10:55
cho P=$\frac{1}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x+y+z}$12−1x−1x+y−1x+y+z . Tìm x,y,z ϵZ+ϵZ+ để P dương nhỏ nhất
#3
Đã gửi 29-08-2016 - 17:51
cho P=$\frac{1}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x+y+z}$ Tìm x,y,z ϵZ+ để P dương nhỏ nhất
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Korosensei: 29-08-2016 - 20:29
#4
Đã gửi 30-08-2016 - 10:45
Vì P>0 $\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y+z}< \frac{1}{2}$
Đặt $A=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y+z}$ thì $P=\frac{1}{2}-A$
Do đó: Pmin $\Leftrightarrow$ Amax $\Leftrightarrow$ x nhỏ nhất
Ta có : $\frac{1}{x}<\frac{1}{2} \Leftrightarrow x>2\Leftrightarrow x \geq 3$
Do đó: x nhỏ nhất khi x=3
Khi x=3 $\Rightarrow A=\frac{1}{3}+\frac{1}{3+y}+\frac{1}{3+y+z}<\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{1}{3+y}+\frac{1}{3+y+z}<\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$
Vì $\frac{1}{3}$ không đổi nên Amax khi y nhỏ nhất
Mà $\frac{1}{3+y}<\frac{1}{6}\Leftrightarrow 3+y>6\Leftrightarrow3+y\geq 7 \Leftrightarrow y \geq 4$
Suy ra y nhỏ nhất bằng 4
Khi y=4 $\Rightarrow \frac{1}{3+y}+\frac{1}{3+y+z}<\frac{1}{6} \Leftrightarrow \frac{1}{7}+\frac{1}{7+z}<\frac{1}{6}\Leftrightarrow \frac{1}{7+z}<\frac{1}{42}$
Vì A = $\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7+z}$ nên Amax khi z nhỏ nhất
Ta có: $\frac{1}{7+z}<\frac{1}{42}\Leftrightarrow 7+z>42 \Leftrightarrow 7+z\geq43 \Leftrightarrow z\geq 36$
Suy ra z nhỏ nhất bằng 36
Vậy Pmin$=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{7}-\frac{1}{43}$
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh