Chủ đề này có 12 trả lời

[happypolla]

Giai phuong trinh : $7x^2+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}$

[leminhnghiatt]

Giai phuong trinh : $7x^2+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}$

Đặt $\sqrt{\dfrac{4x+9}{28}}=y+\dfrac{1}{2} \rightarrow 14y^2+14y=2x+1$

 

Thay vào pt ta có:

 

$\iff \left\{\begin{matrix} 14y^2+14y=2x+1 \\ 14x^2+14x=2y+1 \end{matrix}\right.$

 

Đến đây đc hệ đối xứng loại hai, công việc còn lại là trừ vế cho vế

 

Cách 2: phá căn bình thường bằng cách bình phương

 

$\iff (14x^2+12x-1)(98x^2+112x+9)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 29-08-2016 - 15:03

[happypolla]

Đặt $\sqrt{\dfrac{4x+9}{28}}=y+\dfrac{1}{2} \rightarrow 14y^2+14y=2x+1$

 

Thay vào pt ta có:

 

$\iff \left\{\begin{matrix} 14y^2+14y=2x+1 \\ 14x^2+14x=2y+1 \end{matrix}\right.$

 

Đến đây đc hệ đối xứng loại hai, công việc còn lại là trừ vế cho vế

 

Cách 2: phá căn bình thường bằng cách bình phương

 

$\iff (14x^2+12x-1)(98x^2+112x+9)=0$

làm sao bạn nghĩ ra được cách đặt như vậy, bạn có thể chỉ mình được không?

[An Infinitesimal]

làm sao bạn nghĩ ra được cách đặt như vậy, bạn có thể chỉ mình được không?

 

Nên đọc phần sau "----------------".

 

 Xét một lớp đặc biệt của  PT $\sqrt{ax+b}=cx^2+dx+e$ về hệ phương trình đối xứng.

(Bỏ qua trường hợp tầm thường ($c=0$))

 

Đặt $Ay+B= \sqrt{ax+b},$ ta có hệ 

\[\begin{cases} & (Ay+B)^2=ax+b, \\ & cx^2+dx+e=Ay+B. \end{cases}\]

 

\[\iff \begin{cases} & (Ay+B)^2=ax+b, \\ & \left(Ax+\frac{Ad}{2c}\right)^2=\frac{A^3}{c}y+\frac{4cA^2(B-e)+A^2d^2}{4c^2}. \end{cases}\]

Nếu hệ sau tồn tại $A, B$ thì ta có thể đưa về hệ đối xứng

\[\begin{cases} & B=\frac{Ad}{2c}, \\ & a=\frac{A^3}{c},\\& b=\frac{[4c(B-e)+A^2d^2]A^2}{4c^2}. \end{cases}\]

\[\begin{cases} & B=\frac{d\sqrt[3]{ac}}{2c}, \\ & A = \sqrt[3]{ac},\\& b=\frac{2d\sqrt[3]{ac}-4ce+d^2}{4c^2}\sqrt[3]{(ac)^2}. \end{cases}\]

 

Do đó, nếu $b=\frac{2d\sqrt[3]{ac}-4ce+d^2}{4c^2}\sqrt[3]{(ac)^2}$ thì ta có thể đưa hệ về hệ đối xứng thông qua phép đặt ẩn phụ $\sqrt[3]{ac}y+\frac{d\sqrt[3]{ac}}{2c}= \sqrt{ax+b}.$ Khi đó hệ trở thành

 

ĐK có thể viết lại là $4bc^2=2dac+(d^2-4ce)\sqrt[3]{(ac)^2}.$

\[\begin{cases} & \left(\sqrt[3]{ac} y+\frac{d\sqrt[3]{ac}}{2c}\right)^2=ax+b, \\ & \left(\sqrt[3]{ac} x+\frac{d\sqrt[3]{ac}}{2c}\right)^2=ay+b. \end{cases}\]

 

Phương trình $$729u^{2}+8\sqrt{1-u}=36.$$

$$\iff \sqrt{1-u}=-\frac{729}{8}u^{2}+\frac{9}{2}.$$

Nghĩa là $a=-1, b=1, c= -\frac{729}{8}, d=0, e= \frac{9}{2}.$

Điều kiện: $b=\frac{2d\sqrt[3]{ac}-4ce+d^2}{4c^2}\sqrt[3]{(ac)^2}$  được thỏa mãn. Ta chọn được $A=\frac{9}{2}, B=0.$

Do đó cách đặt ẩn phụ $\frac{9}{2}y=\sqrt{1-u}$ sẽ đưa phương trình về hệ đối xứng.

 

 

Thí dụ PT thuộc lớp này là : $2x^2-6x-1 =\sqrt{4x+5}.$

Điều kiện: $b=\frac{2d\sqrt[3]{ac}-4ce+d^2}{4c^2}\sqrt[3]{(ac)^2}$  được thỏa mãn. Ta chọn được $A=2, B=-3.$

Do đó cách đặt ẩn phụ $2y-3=\sqrt{4x+5}$ sẽ đưa phương trình về hệ đối xứng.

-----------------------------------------------------

 

Xem xét và đối chiếu lớp PT trên với lớp PT sau: 

\[\sqrt{ax+b}= r(ux+v)^2+d'x+e',\]

trong đó $u=ar+d', v=br+e',$ đặt $\sqrt{ax+b}=u y+v$ sẽ đưa ra hệ đối xứng.

 

Sự tương ứng giữa hai lớp PT (?): $c=ru^2, d=2ruv+d', e= rv^2+e'.$

Hai phép biến đổi chỉ tương đương nếu $d=$, vì hệ phương trình mới chỉ là hệ giả đối xứng

\[\begin{cases} & r(ux+v)^2+d'x+e'=uy+v, \\ & r(ux+v)^2+d'x+e'=ux+v. \end{cases}\]

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 31-08-2016 - 14:18

[leminhnghiatt]

làm sao bạn nghĩ ra được cách đặt như vậy, bạn có thể chỉ mình được không?

Thấy $VT$ là một tam thức bậc 2 nên đặt căn là bậc nhất

 

Đặt $\sqrt{\dfrac{4x+9}{28}}=ay+b \rightarrow 7a^2y^2+14aby=x+\dfrac{9}{4}-7b^2$

 

$\rightarrow 7a^3y^2+14a^2by=ax+\dfrac{9}{4}a-7ab^2$

 

Thay vào pt ta có: $7x^2+7x=ay+b$

 

$\iff \left\{\begin{matrix} 7a^3y^2+14a^2by=ax+\dfrac{9}{4}a-7ab^2 \\ 7x^2+7x=ay+b \end{matrix}\right.$

 

Để đưa về hệ đối xứng ta sẽ giải pt sau:

 

$\iff \left\{\begin{matrix}7a^3=7 \\ 14a^2b=7 \\  \dfrac{9}{4}a-7ab^2=b \end{matrix}\right.$

 

$\iff \left\{\begin{matrix} a=1 \\ b=\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$

 

$\rightarrow \sqrt{\dfrac{4x+9}{28}}=y+\dfrac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 29-08-2016 - 16:17

[An Infinitesimal]

 

\[\sqrt{ax+b}= r(ux+v)^2+d'x+e',\]

trong đó $u=ar+d', v=br+e',$ đặt $\sqrt{ax+b}=u y+v$ sẽ đưa ra hệ đối xứng.

 

Sự tương ứng giữa hai lớp PT (?): $c=ru^2, d=2ruv+d', e= rv^2+e'.$

 

Câu hỏi: Liệu có PT nào 

\[\sqrt{ax+b}= cx^2+dx+e,\] không thuộc lớp PT trên, nghĩa là không đưa về hệ đối xứng trực tiếp thông qua phép biến đổi như trên mà hệ PT sau lại có thể không?

\[\sqrt{ak^2x+bk^2}= c|k|x^2+d|k|x+e|k|,\]

trong đó  $k$ là số thực được chọn thích hợp.

 

 

Một số bài toán cùng loại (như một bản tóm tắt)- Đặt ẩn phụ đưa PT về HPT đối xứng "gần đây".

Giải các phương trình sau:

 $729x^{4}+8\sqrt{1-x^{2}}=36.$

 

http://diendantoanhoc.net/topic/163287-729x48sqrt1-x236/

 

 

 

 

Giải phương trình: $x^3-3\sqrt[3]{3x-2}=2.$

http://diendantoanhoc.net/topic/163938-x3-3sqrt33x-22/

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 30-08-2016 - 09:45

[happypolla]

Thấy $VT$ là một tam thức bậc 2 nên đặt căn là bậc nhất

 

Đặt $\sqrt{\dfrac{4x+9}{28}}=ay+b \rightarrow 7a^2y^2+14aby=x+\dfrac{9}{4}-7b^2$

 

$\rightarrow 7a^3y^2+14a^2by=ax+\dfrac{9}{4}a-7ab^2$

 

Thay vào pt ta có: $7x^2+7x=ay+b$

 

$\iff \left\{\begin{matrix} 7a^3y^2+14a^2by=ax+\dfrac{9}{4}a-7ab^2 \\ 7x^2+7x=ay+b \end{matrix}\right.$

 

Để đưa về hệ đối xứng ta sẽ giải pt sau:

 

$\iff \left\{\begin{matrix}7a^3=7 \\ 14a^2b=7 \\  \dfrac{9}{4}a-7ab^2=b \end{matrix}\right.$

 

$\iff \left\{\begin{matrix} a=1 \\ b=\dfrac{1}{2} \end{matrix}\right.$

 

$\rightarrow \sqrt{\dfrac{4x+9}{28}}=y+\dfrac{1}{2}$

bạn có thể nói rõ hơn vì sao lại chọn đặt căn là bậc nhất được không? mình thấy cách của bạn rất hay

[An Infinitesimal]

bạn có thể nói rõ hơn vì sao lại chọn đặt căn là bậc nhất được không? mình thấy cách của bạn rất hay

Sao mình cứ nhiều chuyện trả lời giùm hoài? Đơn giản thôi, vì  bản chất nhiều chuyện!

Bạn hãy đặt  $\sqrt{\dfrac{4x+9}{28}}=f(x,y)$. Trường hợp đơn giản chọn $f$ là đa thức theo hai biến và cũng chỉ ra được rằng $f$ chỉ có thể là đa thức thì ta mới đạt được ý đồ.

Đưa về hệ và ràng buộc điều kiện đối xứng thì ta sẽ thấy $f$ phải là đa thức; hơn nữa đa thức đó phải có "bậc một".

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 30-08-2016 - 13:08

[thuylinhnguyenthptthanhha]

Câu hỏi: Liệu có PT nào 

\[\sqrt{ax+b}= cx^2+dx+e,\] không thuộc lớp PT trên, nghĩa là không đưa về hệ đối xứng trực tiếp thông qua phép biến đổi như trên mà hệ PT sau lại có thể không?

\[\sqrt{ak^2x+bk^2}= c|k|x^2+d|k|x+e|k|,\]

trong đó  $k$ là số thực được chọn thích hợp.

 

 

Một số bài toán cùng loại (như một bản tóm tắt)- Đặt ẩn phụ đưa PT về HPT đối xứng "gần đây".

 

 

 

http://diendantoanhoc.net/topic/163938-x3-3sqrt33x-22/

 

 

 

Đặt $\sqrt{\dfrac{4x+9}{28}}=y+\dfrac{1}{2} \rightarrow 14y^2+14y=2x+1$

 

Thay vào pt ta có:

 

$\iff \left\{\begin{matrix} 14y^2+14y=2x+1 \\ 14x^2+14x=2y+1 \end{matrix}\right.$

 

Đến đây đc hệ đối xứng loại hai, công việc còn lại là trừ vế cho vế

 

Cách 2: phá căn bình thường bằng cách bình phương

 

$\iff (14x^2+12x-1)(98x^2+112x+9)=0$

Xin phép bạn happypolla

Mk xin đưa ra 1 bài toán tương tự:

   Giải phương trình:       $-4x^2+21x-22=\sqrt{3x+2}$

Nhìn qua thì nghĩ ngay đến pp tg tự bài trên nhưng khi khai triển lại vướng 1 số vấn đề 

P/s: BTTT: $-4x^2+21x-22=\sqrt{3x-2}$ pt này có vẻ dễ dàng hơn vì khi đặt 1 ẩn phụ có thể đưa đc về hệ đ/x.

[leminhnghiatt]

Xin phép bạn happypolla

Mk xin đưa ra 1 bài toán tương tự:

   Giải phương trình:       $-4x^2+21x-22=\sqrt{3x+2}$

Nhìn qua thì nghĩ ngay đến pp tg tự bài trên nhưng khi khai triển lại vướng 1 số vấn đề 

P/s: BTTT: $-4x^2+21x-22=\sqrt{3x-2}$ pt này có vẻ dễ dàng hơn vì khi đặt 1 ẩn phụ có thể đưa đc về hệ đ/x.

Xóa !

 

p/s: e đọc không kĩ... 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 30-08-2016 - 22:27

[An Infinitesimal]

Đề là $\sqrt{3x-2}$ hay $\sqrt{3x+2}$ hả c... mk thấy trên ghi $\sqrt{3x+2}$ nhưng dưới là $\sqrt{3x-2}$

 

 

 

 

Nhiều chuyện tiếp! thuylinhnguyenthptthanhha đã nói rõ như trên rồi!

 

 

Xin phép bạn happypolla 

Mk xin đưa ra 1 bài toán tương tự:

   Giải phương trình:       $-4x^2+21x-22=\sqrt{3x+2}$

Nhìn qua thì nghĩ ngay đến pp tg tự bài trên nhưng khi khai triển lại vướng 1 số vấn đề  

P/s: BTTT: $-4x^2+21x-22=\sqrt{3x-2}$ pt này có vẻ dễ dàng hơn vì khi đặt 1 ẩn phụ có thể đưa đc về hệ đ/x.

 

Giải PT $-4x^2+21x-22=\sqrt{3x-2}$.

 

Đặt $ay+b=\sqrt{3x-2},$ ta có hệ 

$$\begin{cases} &4x^2 - 21x + ay +b+ 22=0, \\& ​a^2y^2 + 2aby - 3x +b^2+ 2=0\end{cases}$$

Hệ giả đối xứng

 

\[\begin{cases} & a^2=4,\\& b^2+2=b+22,\\& 2ab-a=21+(-3)\end{cases}.\]

Chọn $a=2, b=-4, $ ta có hệ giả đối xứng

$$\begin{cases} &4x^2 - 21x + 2y + 18=0, \\& ​4y^2 - 16y - 3x + 18=0\end{cases}$$

 

Lấy 2 PT trừ nhau, ta có 

\[2(x - y)(2x + 2y - 9)=0.\]

....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 30-08-2016 - 22:18

[An Infinitesimal]

Chung quy của việc đưa hệ về dạng đối xứng hay giả đối xứng đều dẫn ra phân tích bên dưới cho PT $\sqrt{ax+b}=cx^2+dx+e:$

\[(\sqrt{ax+b}+Cx+D)(\sqrt{ax+b}+Ex+F)=0.\]

(Thật sự, khi đưa về điều này thì việc lũy thừa đưa về bậc 4 và phân tích thành tích các bậc 2 cũng khả thi.)

Điều đó có nghĩa, phương trình bậc hai theo  ẩn không hoàn toàn $y:= \sqrt{ax+b}$ có $\Delta$ chính phương. Tuy nhiên, ta chưa biết được phương trình bậc hai đó là phương trình bậc hai nào (tương tự kỹ thuật giải PT bậc 2 thông thường, cũng là cách giải PT bậc 4 khuyết bậc ba).

PT ban đầu tương đương $\left(\sqrt{ax+b}+A\right)^2=2Acx^2+(2Ad+a)x+A^2+2Ae+b.$

Ta chọn số thực $A$ sao cho vế phải là một "bình phương" (có thể là đối của một bình phương).

Hay $$(2Ad+a)^2-8Ac(A^2+2Ae+b)=0.\quad\quad\quad (***)$$

Hiển nhiên phương trình này luôn có nghiệm thực, tức là phân tích trên hoàn toàn có thể thực hiện trong mọi trường hợp. Nếu PT không thể giải bằng một PP đặc biệt thì việc giải PT bậc ba (***) cũng tương đương với việc giải PT bậc ba liên kết của PT bậc 4: $(cx^2+dx+e)^2-(ax+b)=0.$

 

Vậy điểm đặc biệt của hai trường hợp "có thể đưa về hệ đối xứng" và "có thể đưa về hệ giả đối xứng" là gì?

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta xem xét phương trình (***) có nghiệm đặc biệt trong hai trường hợp vừa đề cập không? Câu trả lời xin mời mọi người tiếp tục thảo luận.

Lớp PT (I)

 

 Xét một lớp đặc biệt của  PT $\sqrt{ax+b}=cx^2+dx+e$ về hệ phương trình đối xứng.

 

Do đó, nếu $b=\frac{2d\sqrt[3]{ac}-4ce+d^2}{4c^2}\sqrt[3]{(ac)^2}$ hay $4bc^2=2dac+(d^2-4ce)\sqrt[3]{(ac)^2}.$

 

Đặt $Ay+B= \sqrt{ax+b}$ với $B=\frac{d\sqrt[3]{ac}}{2c}, A = \sqrt[3]{ac},$ ta có hệ đối xứng.

 

Lớp PT (II)

 

\[\sqrt{ax+b}= r(ux+v)^2+d'x+e',\]

trong đó $u=ar+d', v=br+e',$ đặt $\sqrt{ax+b}=u y+v$ sẽ đưa ra hệ  giả đối xứng.

 

Tiếp theo, mình thử dùng ý tưởng này để giải quyết 4 bài toán đã đưa ra trong topic này. Bao gồm các PT sau

 

(a) $-4x^2+21x-22=\sqrt{3x-2}.$

(b) $ \sqrt{1-u}=-\frac{729}{8}u^{2}+\frac{9}{2}.$\

(c) $2x^2-6x-1 =\sqrt{4x+5}.$

(d) $7x^2+7x=\sqrt{\frac{4x+9}{28}}$

(e) $-4x^2+21x-22=\sqrt{3x+2}$

(PT cuối chỉ mang tính thử nghiệm!)

 

Câu a: có PT xác định $A$ là $(2A + 1)(16A^2 + 170A + 9)=0.$

Do đó PT (a) tương đương 

\[\left(\sqrt{3x-2}-\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{4 x - 9}{2}\right)^2.\]

 

Câu b: có PT xác định $A$ là $(9A + 1)(81A^2 + 720A + 1)=0.$

Do đó PT (b) tương đương 

\[\left(\sqrt{1-u}-\frac{1}{9}\right)^2=\left(\frac{81u - 2}{18}\right)^2.\]

 

Câu c: có PT xác định $A$ là $(A - 1)(A^2 - 10A + 1)=0.$

Do đó PT (c) tương đương 

\[\left(\sqrt{4x+5}+1\right)^2=4(x - 1)^2 .\]

 

Câu d: có PT xác định $A$ là $(14A - 1)(196A^2 - 672A + 1)=0.$

Do đó PT (d) tương đương 

\[\left(\sqrt{\frac{4x+9}{28}}+\frac{1}{14}\right)^2=\left(\frac{7x + 4}{7}\right)^2 .\]

 

 

Câu e: có PT xác định $A$ là $32A^3 + 356A^2 + 316A + 9=0.$

(Nghiệm không gọn ràng!)

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 31-08-2016 - 14:30

[An Infinitesimal]

Có thể xem thêm tại http://k2pi.net.vn/s...read.php?t=8237