Chủ đề này có 3 trả lời

[leanh9adst]

1.Tìm tất cả các hàm số f: $R\rightarrow R$ thỏa mãn:$f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)$

CMR:$f(x+y)=f(x)+f(y)$

2.Tìm tất cả các hàm số f: R* $\rightarrow$ R thỏa mãn: $f(\frac{1}{2})=1$ và $f(xy)=f(x)f(\frac{3}{y})+f(y)f(\frac{3}{x})$

3. Tìm f: $\mathbb{Q}^{+}\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$ thỏa mãn:$f(x+1)=f(x)+1 , f(x^{3})=f^{3}(x), \forall x \epsilon Q^{+}$

[Dark Repulsor]

1.Tìm tất cả các hàm số f: $R\rightarrow R$ thỏa mãn:$f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)$

CMR:$f(x+y)=f(x)+f(y)$

Kí hiệu $P(x,y)$ là phép thế $(x,y)$ vào hs

$P(0;0)\Rightarrow f(0)=0$

$P(x;-1)\Rightarrow f$ là hàm lẻ

$P(x;1)\Rightarrow f(2x+1)=2f(x)+f(1)\forall x\in R$

$P(x+y+xy;1)\Rightarrow f(2(x+y+xy)+1)=2f(x)+2f(y)+2f(xy)+f(1)\forall x,y\in R$      $(1)$

$P(2x+1;y)\Rightarrow f(2(x+y+xy)+1)=2f(x)+f(1)+f(y)+f(2xy+y)\forall x,y\in R$        $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow f(2xy+y)=f(y)+2f(xy)\forall x,y\in R$      $(3)$

Xét $y\neq 0$. Thay $y$ bởi $\frac{x}{2y}$ vào $(3)\Rightarrow f(x+y)=f(y)+2f(\frac{x}{2})\forall x\in R,y\neq 0$      $(4)$

Thay $x=-\frac{1}{2}$ vào $(3)\Rightarrow f(y)=2f(\frac{y}{2})\forall x,y\in R$      $(5)$

Từ $(4)$ và $(5)\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)\forall x\in R,y\neq 0$

Mà $f(x+0)=f(x)+f(0)\forall x\in R$

$\Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 29-08-2016 - 23:20

[Dark Repulsor]

2.Tìm tất cả các hàm số f: R* $\rightarrow$ R thỏa mãn: $f(\frac{1}{2})=1$ và $f(xy)=f(x)f(\frac{3}{y})+f(y)f(\frac{3}{x})$

Thay $x=y=1\Rightarrow f(3)=\frac{1}{2}$

Thay $y$ bởi $\frac{3}{x}\Rightarrow f^2(x)+f^2(\frac{3}{x})=\frac{1}{2}\forall x\in R^{+}$      $(1)$

Thay $y=1\Rightarrow f(x)=f(\frac{3}{x})$      $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow f^2(x)=\frac{1}{4}$

Thay $(2)$ vào gt $\Rightarrow 2f(x)f(y)=f(xy)$

Thay $x=y=\sqrt{t}$ $(t>0)$ $\Rightarrow 2f^2(\sqrt{t})=f(t)\forall t>0\Rightarrow f(t)=\frac{1}{2}\forall t>0$

Vậy $f(x)=\frac{1}{2}\forall x\in R^{+}$ 

[Dark Repulsor]

3. Tìm f: $\mathbb{Q}^{+}\rightarrow \mathbb{Q}^{+}$ thỏa mãn:$f(x+1)=f(x)+1 , f(x^{3})=f^{3}(x), \forall x \epsilon Q^{+}$

Từ gt $\Rightarrow f(1)=1$. Ta c/m quy nạp $f(n)=n\forall n\in N^{+}$ và $f(x+n)=f(x)+n\forall x\in Q^{+},n\in N^{+}$

Đặt $x=\frac{p}{q}\in Q^{+}$. Tính bằng $2$ cách gtrị của $f((x+q^2)^3)$:

$f(x+q^2)^3)=[f(x)+q^2]^3=f(x^3)+3x^2q^2+3xq^4+q^6$

$\Rightarrow [f(x)-x][f(x)+x+q^2]=0\Rightarrow f(x)=x\forall x\in Q^{+}$