1.Tìm tất cả các hàm số f: $R\rightarrow R$ thỏa mãn:$f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)$
CMR:$f(x+y)=f(x)+f(y)$
Kí hiệu $P(x,y)$ là phép thế $(x,y)$ vào hs
$P(0;0)\Rightarrow f(0)=0$
$P(x;-1)\Rightarrow f$ là hàm lẻ
$P(x;1)\Rightarrow f(2x+1)=2f(x)+f(1)\forall x\in R$
$P(x+y+xy;1)\Rightarrow f(2(x+y+xy)+1)=2f(x)+2f(y)+2f(xy)+f(1)\forall x,y\in R$ $(1)$
$P(2x+1;y)\Rightarrow f(2(x+y+xy)+1)=2f(x)+f(1)+f(y)+f(2xy+y)\forall x,y\in R$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)\Rightarrow f(2xy+y)=f(y)+2f(xy)\forall x,y\in R$ $(3)$
Xét $y\neq 0$. Thay $y$ bởi $\frac{x}{2y}$ vào $(3)\Rightarrow f(x+y)=f(y)+2f(\frac{x}{2})\forall x\in R,y\neq 0$ $(4)$
Thay $x=-\frac{1}{2}$ vào $(3)\Rightarrow f(y)=2f(\frac{y}{2})\forall x,y\in R$ $(5)$
Từ $(4)$ và $(5)\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y)\forall x\in R,y\neq 0$
Mà $f(x+0)=f(x)+f(0)\forall x\in R$
$\Rightarrow$ đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dark Repulsor: 29-08-2016 - 23:20