Cho x,y,z là ba số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$M=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenquangtruonghktcute: 29-08-2016 - 22:37
Cho x,y,z là ba số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$M=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenquangtruonghktcute: 29-08-2016 - 22:37
Không mất tính tổng quát, giả sử $x= \max\left \{ x,y,z \right \}$
Ta có:
$M\leq x^{2}+y^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{z^{2}}{x^{2}+1}\\\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+1}\\\leq x^{2}+\left ( y+z \right )^{2}+2+\frac{1}{x^{2}+1}\\=2x^{2}-2x+3+\frac{1}{x^{2}+1}$
Vậy ta chỉ cần chứng minh: $2x^{2}-2x+3+\frac{1}{x^{2}+1}\leq \frac{7}{2}$ $\left ( * \right )$
Thật vậy, BĐT trên tương đương với:
$4x^{4}-4x^{3}+3x^{2}-4x+1\leq 0\\\Leftrightarrow \left ( 4x^{3}+3x-1 \right )\left ( x-1 \right )\leq 0$
Vì $x= \max\left \{ x,y,z \right \}$ nên $x\in \left [ \frac{1}{3};1 \right ]$, do đó:
$\left\{\begin{matrix} 4x^{3}+3x-1\geq 0 & \\ x-1\leq 0 & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left ( * \right )$ luôn đúng
Vậy $\max M=\frac{7}{2}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=0 & & \\ z=0 & & \end{matrix}\right.$ và các hoán vị
Cho x,y,z là ba số thực không âm thỏa mãn x+y+z=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$M=\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}$
Lời giải. Từ giả thiết suy ra $0\leqslant x,y,z\leqslant 1\Rightarrow x^2+1,y^2+1,z^2+1\leqslant 2$
Ta có: $\frac{x^2+1}{y^2+1}+\frac{y^2+1}{z^2+1}+\frac{z^2+1}{x^2+1}=\left [ (x^2+1)-\frac{y^2(x^2+1)}{y^2+1} \right ]+\left [ (y^2+1)-\frac{z^2(y^2+1)}{z^2+1} \right ]+\left [ (z^2+1)-\frac{x^2(z^2+1)}{x^2+1} \right ]\leqslant (x^2+y^2+z^2+3)-\frac{(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+(x^2+y^2+z^2)}{2}\leqslant (x^2+y^2+z^2+3)-\frac{x^2+y^2+z^2}{2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+3=\frac{(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)}{2}+3\leqslant \frac{(x+y+z)^2}{2}+3=\frac{7}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số $x,y,z$ có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 15-05-2021 - 20:41
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh