Chủ đề này có 6 trả lời

[thuylinhnguyenthptthanhha]

Giải phương trình:

            $5+x+2\sqrt{(4-x)(2x-2)}=4\sqrt{4-x}+\sqrt{2x-2}$

[leminhnghiatt]

Giải phương trình:

            $5+x+2\sqrt{(4-x)(2x-2)}=4\sqrt{4-x}+\sqrt{2x-2}$

Xóa!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 30-08-2016 - 22:08

[An Infinitesimal]

Xóa!

Một cao thủ  như leminhnghiatt mả vẫn chần chừ và cảm thấy "nhác tay" thì có vẻ bài này khó thật. Riêng mình, mình thấy khó thật.

Xin thuylinhnguyenthptthanhha cho phép thảo luận theo một hướng khác. Mời cao thủ leminhnghiatt nói về những ý tưởng giải quyết (dù không thành công) và những kinh nghiệm xử lý những bài như thế này. Bản thân mình cho rằng điều đó cũng tạo nên giá trị quan trọng: đưa ra những kinh nghiệm cho nhiều người và vượt qua khỏi "việc chỉ giải một bài toán".

 

Đây là vài điểm nhìn đầu tiên của mình:

Hướng 1:

Rõ ràng hai căn khiến cho ta nghĩ đến đưa về hệ theo hai ẩn là hai căn:

Đặt $a=\sqrt{4-x}, b=\sqrt{2x-2}.$

\[\begin{cases} &4a^2+3b^2+4ab=8a+2b,\\ & 2a^2+b^2=6.\end{cases}\]

Thật sự, một hướng tốt để giải hệ này chưa được tìm thấy... hướng dở thì đã có.

(Lời giải được hiện khi các hướng bên dưới đều dẫn đến lối cụt.)

PT đẳng cấp

\[6(4a^2+3b^2+4ab)^2=(8a+2b)^2 (2a^2+b^2),\]

hay 

\[16a^4 - 64a^3b - 84a^2b^2 - 56ab^3 - 25b^4=0.\]

Giải PT bậc 4 theo $a$, ta sẽ thu được mối liên hệ giữa $a, b$.

Xét PT: $16t^4 - 64t^3 - 84t^2 - 56t - 25=0.$

(Giải tìm các nghiệm $t\ge 0$.)

 

Đặt $u=t+1,$ ta có

\[16u^4 = 180u^2 + 352u + 213.\]

\[\iff (4u^2+m)^2 = (180+8m)u^2 + 352u + 213+m^2,\]

trong đó $m$ là số thực thỏa 

$$352^2=(180+8m)(213+m^2).$$

Ta có 

$m= \sqrt[3]{\frac{45797+2\sqrt{524392647}}{8}} + \sqrt[3]{\frac{45797-2\sqrt{524392647}}{8}} - \frac{15}{2}.$

"Và"

\[4u^2+m= \sqrt{8m+180}u+ \sqrt{m^2+213},\]

Hay

 

\[a=k_1 b\] 

hoặc \[a= k_2b,\]

trong đó 

$$k_1=1+ \frac{\sqrt{45 - 4 \sqrt{m^2 + 213} - 2 m}}{4} - \frac{\sqrt{2 m + 45}}{4},$$

$$k_2=1  - \frac{\sqrt{45 - 4 \sqrt{m^2 + 213} - 2 m}}{4} - \frac{\sqrt{2 m + 45}}{4}.$$

(Loại $k_2$ vì $k_2<0$)

Từ đó  $b^2 = \frac{6}{2k_1^2+1}$, và $x=1+\frac{b^2}{2}= 1+\frac{3}{2k_1^2+1}$.

 

"Do đó" phương trình có duy nhất nghiệm

\[x= 1+\frac{3}{2k_1^2+1},\]

với  $k_1$ xác định như trên.

 

Ai phát hiện dư nghiệm hay thiếu nghiệm hay nghiệm sai thì báo mình biết. Cảm ơn!

Hướng 2: PP dùng liên hiệp- có lẽ không có nghiệm đặc biệt, "không" phát hiện được lượng liên hiệp (trong trường hợp nghiệm hữu tỉ hoặc nghiệm có dạng $a+\sqrt{b}$ với $a, b\in \mathbb{Q}$).

 

Hướng 3: Lũy thừa để khử căn sẽ dẫn đến PT bậc cao. PT bậc cao này khó hoặc "không thể" phân tích thành nhân tử.

 

Hướng 4: Lượng giác hóa. 

Dạng lượng giác hóa của PT là 

\[5+3 \sin{(t+\alpha)}= 2\sqrt{6}\sin{(\frac{t}{2}+\alpha)},\]

trong đó $x=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}\cos{t}$ với $t\in [0;\pi]$, $\alpha \in (0,\pi/2): \sin\alpha =\frac{1}{3}.$

 

Thất bại ở PT LG cuối cùng (chưa có thời gian cũng chưa có cách xử lý)!

Vì $x\in [1,4]$ nên đặt $x=\frac{5}{2}+\frac{3}{2}\cos{t}$ với $t\in [0;\pi].$

Phương trình trở thành

\[\frac{15}{2}+\frac{3}{2}\cos{t}+3 \sqrt{2} \sin{t}= 4\sqrt{3} \sin\frac{t}{2}+\sqrt{6} \cos\frac{t}{2}.\]

\[\iff \frac{15}{2}+\frac{3}{2} \left(2\sqrt{2} \sin{t}+\cos{t}\right)= \sqrt{6}\left( 2\sqrt{2} \sin\frac{t}{2}+\cos\frac{t}{2}\right).\]

\[\iff \frac{15}{2}+\frac{9}{2}  \sin{(t+\alpha)}= 3\sqrt{6}\sin{(\frac{t}{2}+\alpha)},\]

trong đó $\alpha \in (0,\pi/2): \sin\alpha =\frac{1}{3}.$

\[\iff 5+3 \sin{(t+\alpha)}= 2\sqrt{6}\sin{(\frac{t}{2}+\alpha)},\]

 

Hướng 5: Đánh giá bằng BĐT để giảm thiểu căn (cũng thất bại).

 

Hướng 6: Khảo sát tính đơn điệu cũng thất bại!

 

Hướng ...:

 

 

... Tiếp tục đưa ra những hướng khả dĩ hoặc những hướng đã sử dụng nhưng thất bài (kèm kinh nghiệm).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 01-09-2016 - 11:19

[NTA1907]

Giải phương trình:

            $5+x+2\sqrt{(4-x)(2x-2)}=4\sqrt{4-x}+\sqrt{2x-2}$

Nghiệm bài này còn khá "ấn tượng" nữa

[An Infinitesimal]

Nghiệm bài này còn khá "ấn tượng" nữa

MSP30791ge366i3h79735020000459bh02h65f011fh.gif

Như vậy PT có nghiệm duy hay hai nghiệm như lời giải trên?

 

Đúng là PT có duy nhất nghiệm. PT bên trên thừa một nghiệm do không loại $k_2$. Ban đầu nhận $k_2$ vì so điều kiện nhầm: lấy giá trị  $m$ để kiểm tra điều kiện của $k$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 01-09-2016 - 11:21

[L Lawliet]

Giải phương trình:

            $5+x+2\sqrt{(4-x)(2x-2)}=4\sqrt{4-x}+\sqrt{2x-2}$

Bỏ qua các bước điều kiện cứ tiến hành làm rồi kiểm tra lại sau:

$$5+x+2\sqrt{\left ( 4-x \right )\left ( 2x-2 \right )}=4\sqrt{4-x}+\sqrt{2x-2}$$

$$\Rightarrow \left [ 5+x+2\sqrt{\left ( 4-x \right )\left ( 2x-2 \right )} \right ]^{2}=\left ( 4\sqrt{4-x}+\sqrt{2x-2} \right )^{2}$$

$$\Leftrightarrow 7x^{2}-64x+69-\left ( 4x+12 \right )\sqrt{\left ( 4-x \right )\left ( 2x-2 \right )}=0$$

Đặt:

$$\sqrt{\left ( 4-x \right )\left ( 2x-2 \right )}=\left ( x-1 \right )t$$

$$\Rightarrow \left ( 4-x \right )\left ( 2x-2 \right )=\left ( x-1 \right )^{2}t^{2}$$

$$\Leftrightarrow 8-2x=\left ( x-1 \right )t^{2}$$

$$\Leftrightarrow \left ( t^{2}+2 \right )x=t^{2}+8$$

$$\Leftrightarrow x=\dfrac{t^{2}+8}{t^{2}+2}$$

Thay vào phương trình ban đầu ta được:

$$7\left ( \dfrac{t^{2}+8}{t^{2}+2} \right )^{2}-64\dfrac{t^{2}+8}{t^{2}+2}+69-\dfrac{16t^{2}+56}{t^{2}+2}.\dfrac{6t}{t^{2}+2}=0$$

$$\Leftrightarrow t^{4}-8t^{3}-21t^{2}-28t-25=0$$

Phương trình bậc $4$ nói chung thì có phương pháp giải nhưng nghiệm bài này không được "đẹp" cho lắm :-ss

Ý tưởng chung là thế mọi người góp ý thêm nhé :-ss

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 07-09-2016 - 11:01

[An Infinitesimal]

 

Bỏ qua các bước điều kiện cứ tiến hành làm rồi kiểm tra lại sau:

.....

Nói dối đây!!!

 

Thoạt nhìn ta sẽ nghĩ đến  kỹ thuật cũng khá quen cho bài kiểu $t=\sqrt{a-x}+\sqrt{b+x}$ hoặc $t=\sqrt{(a-x)(b+x)}$ nhưng bài toán đã lệch khỏi đường ray. Ban đầu vẫn tưởng nó dễ (đã tiến hành đánh giá VP nhưng gặp trở ngại).

 

P.S: Suy nghĩ trong lời giải trên dơn giản nhưng không phải ai cũng làm được điều đơn giản đó. 

 

Hơn thế nữa