Chủ đề này có 2 trả lời

[nhungvienkimcuong]

Tìm tất cả đa thức $\mathcal{P}\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ sao cho

$\mathcal{P}(p)\mid 2^p-p \ ,\forall p \ \text{nguyên tố}$

$\left ( \text{IMOTC-2016},\ \text{Senior Batch} \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 31-08-2016 - 04:37

[JUV]

Có $\mathcal{P}(2)\mid 2 $,$\mathcal{P}(5)\mid 27 $ và $3\mid \mathcal{P}(5)- \mathcal{P}(2)$ nên hoặc $\mathcal{P}(2)=\mathcal{P}(5)=1$ hoặc $\mathcal{P}(2)=\mathcal{P}(5)=-1$.WOLG, giả sử $\mathcal{P}(2)=1$,ta thấy $\mathcal{P}(0)=1$ bởi nếu tồn tại $1$ ước nguyên tố lẻ của $\mathcal{P}(0)$ là $q$ thì $q\mid \mathcal{P}(q)$, hay $q\mid 2^q$ (vô lí). Xét $p$ nguyên tố bất kì, gọi $q$ là $1$ ước nguyên tố bất kì của $\mathcal{P}(p)$ thì $q\mid 2^p-p$, gọi $m= \text{ord}_{2}(q)$,giả sử $m>2$ có $(m;q)=1$ nên theo định lí thặng dư trung hoa thì $\left\{\begin{matrix} x\equiv p \pmod{q} & & \\ x\equiv p+v \pmod{m} & & \end{matrix}\right.$ với $v$ là $1$ số thỏa mãn $v$ không chia hết cho $m$ và $(p+v;m)=1$ (hoàn toàn chọn được do $m>2$ nên $\phi(m)\geq 2$), có $1$ nghiệm $x \pmod{qm}$ . Dễ thấy do $\mathcal{P}(0)=1$ nên $(p;q)=1$ và $(p+v;m)=1$ nên $(x;qm)=1$. Theo định lí Dirichlet, tồn tại $1$ số nguyên tố $t$ để $t \equiv x \pmod{qm}$. Có $q\mid t-p$ nên $q\mid \mathcal{P}(t)-\mathcal{P}(q)$$\Rightarrow$ $q\mid \mathcal{P}(t)$$\Rightarrow$$q\mid 2^t-t$$\Rightarrow$$q\mid 2^p(2^{t-p}-1)+p-t$$\Rightarrow$$q \mid 2^{t-p}-1$ (vô lí do $t-p$ không phải là bội của $m$). Vậy $m=2$, hay $q=3$, vậy $\mathcal{P}(p)$ có dạng $3^t$ với mọi $p$ nguyên tố(1). Cố định $p\neq 3$ và $t$, theo định lí Dirichlet thì tồn tại vô hạn số nguyên tố $q$ thỏa mãn $q\equiv p \pmod{3^{t+1}}$. Có $3^{t+1}\mid q-p$ nên $3^{t+1}\mid \mathcal{P}(q)-\mathcal{P}(p)$. Kết hợp với (1) ta có $\mathcal{P}(q)=3^t$.Vậy $\mathcal{P}(x)=3^t$ có vô số nghiệm nên đa thức là đa thức hằng.Thử lại thấy $\mathcal{P}(x)=1$ hoặc $\mathcal{P}(x)=-1$ thỏa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi JUV: 11-09-2016 - 21:08

[Kalari499]

Xét $p>2$ bất kì. Nếu $P(p)$ tồn tại 1 ước nguyên tố $q$, dễ thấy $q$ khác 2. Ta có: $q | P(p) | 2^{p}-p$ và $q | P(p+q) | 2^{p+q} - (p+q)$

Suy ra $2^{q}-1$ chia hết cho $q$ mà $q | 2^{q}-2$ suy ra $q | 1$ suy ra vô lý. Vậy với mọi $p>2$ thì $P(p)=1$ hoặc $P(p)=-1$ suy ra $P(p)=1$ với mọi $p>2$ hoặc $P(p)=-1$ với mọi $p>2$. Tóm lại $P(x)$ là đa thức hằng bằng 1 hoặc -1