Cho các số thực dương $a,b,c$, Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a(1+b)}+ \frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)} \geq \frac{3}{1+abc}$$
Cho các số thực dương $a,b,c$, Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a(1+b)}+ \frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)} \geq \frac{3}{1+abc}$$
Cho các số thực dương $a,b,c$, Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a(1+b)}+ \frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)} \geq \frac{3}{1+abc}$$
Giải:
Đặt $abc=k^3$ $(k>0)$
$\Rightarrow$ Tồn tại các số $x,y,z>0$ sao cho $a=\frac{kx}{y};b=\frac{ky}{z};c=\frac{kz}{x}$
BĐT cần C/m $\Leftrightarrow \frac{yz}{kxz+k^2xy}+\frac{zx}{kxy+k^2yz}+\frac{xy}{kyz+k^2zx}\geqslant \frac{3}{1+k^3}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có
$VT\geqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{xyz(x+y+z)(k+k^2)}\geqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{(k+k^2).\frac{(xy+yz+zx)^2}{3}}=\frac{3}{k(k+1)}$
Vậy ta cần C/m $\frac{3}{k(k+1)}\geqslant \frac{3}{1+k^3}\Leftrightarrow (k-1)^2\geqslant 0$ (luôn đúng)
Vậy ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Bất đẳng thức tương đương
$$\sum \frac{abc+1}{a(b+1)} \geq 3$$
$$\sum ( \frac{bc+1}{b+1}+\frac{1}{a(b+1)} ) \geq 3$$
$$\sum (\frac{a+1}{a(1+b)} + \frac{b(c+1)}{b+1})-3 \geq 3$$
Nhưng áp dụng bdt AM-GM $6$ số thì ta có ngay ddpcm .
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh