Chủ đề này có 2 trả lời

[Kun Kyo]

Cho các số thực dương $a,b,c$, Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{a(1+b)}+ \frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)} \geq \frac{3}{1+abc}$$

[nguyenhongsonk612]

Cho các số thực dương $a,b,c$, Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{a(1+b)}+ \frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)} \geq \frac{3}{1+abc}$$

Giải:

Đặt $abc=k^3$ $(k>0)$

$\Rightarrow$ Tồn tại các số $x,y,z>0$ sao cho $a=\frac{kx}{y};b=\frac{ky}{z};c=\frac{kz}{x}$

BĐT cần C/m $\Leftrightarrow \frac{yz}{kxz+k^2xy}+\frac{zx}{kxy+k^2yz}+\frac{xy}{kyz+k^2zx}\geqslant \frac{3}{1+k^3}$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

$VT\geqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{xyz(x+y+z)(k+k^2)}\geqslant \frac{(xy+yz+zx)^2}{(k+k^2).\frac{(xy+yz+zx)^2}{3}}=\frac{3}{k(k+1)}$

Vậy ta cần C/m $\frac{3}{k(k+1)}\geqslant \frac{3}{1+k^3}\Leftrightarrow (k-1)^2\geqslant 0$ (luôn đúng)

Vậy ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

[bangbang1412]

Bất đẳng thức tương đương

$$\sum \frac{abc+1}{a(b+1)} \geq 3$$

$$\sum ( \frac{bc+1}{b+1}+\frac{1}{a(b+1)} ) \geq 3$$

$$\sum (\frac{a+1}{a(1+b)} + \frac{b(c+1)}{b+1})-3 \geq 3$$

Nhưng áp dụng bdt AM-GM $6$ số thì ta có ngay ddpcm .