Đến nội dung

Hình ảnh

Cho x, y, z >0. chứng minh rằng: $P= \frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3zx}{(y+z)(y+x)} \geq \frac{5}{3}$

* * * * * 2 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Mr An

Mr An

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 69 Bài viết

Cho x, y, z >0. chứng minh rằng:

 

$P= \frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3zx}{(y+z)(y+x)} \geq \frac{5}{3}$


:like  :botay  :ukliam2:  :botay   :dislike

Ta không được chọn nơi mình sinh ra. Nhưng ta được chọn cách mình sẽ sống.


#2
L Lawliet

L Lawliet

    Tiểu Linh

  • Thành viên
  • 1624 Bài viết

Cho x, y, z >0. chứng minh rằng:

 

$P= \frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3zx}{(y+z)(y+x)} \geq \frac{5}{3}$

Lời giải.

Bất đẳng thức tương đương:

$$2xy\left ( x+y \right )+2yz\left ( y+z \right )+3zx\left ( z+x \right )\geq \dfrac{5}{3}\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )$$

Mặt khác vì $\left ( x+y \right )\left ( y+z \right )\left ( z+x \right )=xy\left ( x+y \right )+yz\left ( y+z \right )+zx\left ( z+x \right )+2xyz$ nên ta sẽ chứng minh:

$$\dfrac{xy\left ( x+y \right )}{3}+\dfrac{yz\left ( y+z \right )}{3}+\dfrac{4zx\left ( z+x \right )}{3}\geq \dfrac{10xyz}{3}$$

$$\Leftrightarrow xy\left ( x+y \right )+yz\left ( y+z \right )+4zx\left ( z+x \right )\geq 10xyz$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{4\left ( z+x \right )}{y}\geq 10$$
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\geq 2 \\ \dfrac{y}{z}+\dfrac{4z}{y}\geq 4 \\ \dfrac{y}{x}+\dfrac{4x}{y}\geq 4 \end{matrix}\right.$$
Dấu bằng xảy ra khi vài chỉ khi $2x=y=2z$.

 

what the hell ? đề đúng k vậy 

Không dùng từ ngữ bậy bạ và nói rõ đề sai ở đâu khi post bài nhé bạn :)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi L Lawliet: 01-09-2016 - 11:23

Thích ngủ.


#3
bolobala123456

bolobala123456

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết

what the hell ? đề đúng k vậy 

Để chứng minh một bđt sai, bạn cần chứng minh rõ là nó sai hay ít nhất cx phải nêu đc 1 dấu bằng nào đó mà bđt ko xảy ra mà thỏa mãn vs tất cả các đk mà đề bài cho



#4
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho x, y, z >0. chứng minh rằng:

 

$P= \frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3zx}{(y+z)(y+x)} \geq \frac{5}{3}$

 

Ta có

\[\begin{aligned}\frac{2xy}{(z+x)(z+y)}+\frac{2yz}{(x+y)(x+z)}+\frac{3zx}{(y+z)(y+x)} - \frac{5}{3}\end{aligned} = \frac{y(x-z)^2+z(2x-y)^2+x(y-2z)^2}{3(x+y)(y+z)(z+x)} \geqslant 0.\]


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh