Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangvunamtan123]

tìm x , y ,z thõa $x^y + y^x= z^y  ;  x^y + 2012 = y^{z+1}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangvunamtan123: 01-09-2016 - 10:15

[Kirigito]

Từ phương trình thứ hai suy ra $x,y$ cùng tính chẵn lẻ . Từ phương trình đầu ta cũng có $z$ chẵn nên đặt $z=2c$ với $c$ nguyên dương
TH1 : $x,y$ chẵn . Đặt $x=2a,y=2b$  trong đó $a,b$ nguyên dương 
PT hai viết lại $(2a)^{2b}+2012=(2b)^{2c+1}$ 
$b=1 \rightarrow y=2$ 
Ta có $x^2+2012=2^{z+1}$ và $x^2+2^x=z^2$ suy ra $z^2+2012=2^{z+1}+2^x$ . Mà $2^{z+1}>z^2+2012 ,\forall z \ge 10$ 
Từ đó dẫn đến suy ra $z \le 10$ để ý rằng $2^{z+1} \ge 2012 \Rightarrow z \ge 10$ suy ra $z=10$ và $x=6$ 
TH2 : $x,y$ cùng lẻ . Khi $y=1$ thì ta dễ dàng có điều mâu thuẫn . Khi $y>1$ thì $x^y+y^x=z^y \equiv 0 \pmod{4}$ 
$x^y \equiv y^{z+1} \pmod{4}$ 
Từ đó suy ra $y^{z+1}+y^x \equiv 0 \pmod{4}$ . Rõ ràng từ phương trình đầu ta có $x<z<z+1$ . Từ đó vì $y$ lẻ 
$y^x(y^{z+1-x}+1) \equiv 0 \pmod{4} \Rightarrow y^{z+1-x} \equiv 3 \pmod{4}$ . Đây là điều mâu thuẫn vì $z+1-x$ là số chẵn và một số chính phương ko thể chia $4$ dư $3$ 
Do đó $(x,y,z)=(6,2,10)$