3 replies to this topic

[mikotochan]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$

CMR: $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}+\frac{2}{3}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 5$

Edited by royal1534, 01-09-2016 - 18:12.

[Hai2003]

Áp dụng AM-GM ta có $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\geq \frac{3}{xyz}$

Mặt khác $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\implies xyz\leq 1\implies \frac{3}{xyz}\geq 3$

Vậy $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\geq 3\ \color{red}{(1)}$

 

Áp dụng BĐT quen thuộc $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=3$

Suy ra $\frac{2}{3}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2\ \color{blue}{(2)}$

 

Cộng vế theo vế $\color{red}{(1)}$ và $\color{blue}{(2)}$ ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

[Minh Hieu Hoang]

$\sum \frac{1}{x^2}+\frac{2}{3}(\sum x^2)\geq 5\Leftrightarrow \sum \frac{3}{x^2}+\sum 2x^2\geq 15\Leftrightarrow \sum \frac{3}{x^2}+\sum 2x^2+\sum 4xy\geq 15+\sum 4xy\Leftrightarrow \sum \frac{3}{x^2}+3\geq \sum 4xy\Leftrightarrow \sum \frac{3}{x^2}+\sum x\geq \sum 4xy$

Mà $\sum (\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}+x)+\sum \frac{1}{x^2}\geq \sum \frac{3}{x}+\sum \frac{1}{x^2}\geq 9+\sum \frac{1}{xy}$

cần CM: $9+\sum \frac{1}{xy}\geq \sum 4xy\Leftrightarrow 9+\sum \frac{1}{xy}+\sum xy\geq \sum 5xy$

Mà $9+\sum \frac{1}{xy}+\sum xy\geq 9+6=15$

Do đó : $\sum xy\leq 3$ (Luôn đúng)

[sharker]

$\frac{1}{x^2}+\frac{2}{3}x^2\geq -\frac{2}{3}x+\frac{7}{3} \Leftrightarrow \frac{(2x^2+6x+3)(x-1)^2}{3x^2}\geq 0$ ( đúng)

CMTT ta dc: $\sum \frac{1}{x^2}+\frac{2}{3}x^2\geq -\frac{2}{3}(x+y+z)+7=5$ (dpcm)