Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$
CMR: $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}+\frac{2}{3}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 5$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 01-09-2016 - 18:12
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$
CMR: $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}+\frac{2}{3}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 5$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi royal1534: 01-09-2016 - 18:12
Áp dụng AM-GM ta có $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\geq \frac{3}{xyz}$
Mặt khác $x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}\implies xyz\leq 1\implies \frac{3}{xyz}\geq 3$
Vậy $\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\geq 3\ \color{red}{(1)}$
Áp dụng BĐT quen thuộc $x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=3$
Suy ra $\frac{2}{3}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 2\ \color{blue}{(2)}$
Cộng vế theo vế $\color{red}{(1)}$ và $\color{blue}{(2)}$ ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$
$\sum \frac{1}{x^2}+\frac{2}{3}(\sum x^2)\geq 5\Leftrightarrow \sum \frac{3}{x^2}+\sum 2x^2\geq 15\Leftrightarrow \sum \frac{3}{x^2}+\sum 2x^2+\sum 4xy\geq 15+\sum 4xy\Leftrightarrow \sum \frac{3}{x^2}+3\geq \sum 4xy\Leftrightarrow \sum \frac{3}{x^2}+\sum x\geq \sum 4xy$
Mà $\sum (\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}+x)+\sum \frac{1}{x^2}\geq \sum \frac{3}{x}+\sum \frac{1}{x^2}\geq 9+\sum \frac{1}{xy}$
cần CM: $9+\sum \frac{1}{xy}\geq \sum 4xy\Leftrightarrow 9+\sum \frac{1}{xy}+\sum xy\geq \sum 5xy$
Mà $9+\sum \frac{1}{xy}+\sum xy\geq 9+6=15$
Do đó : $\sum xy\leq 3$ (Luôn đúng)
$\frac{1}{x^2}+\frac{2}{3}x^2\geq -\frac{2}{3}x+\frac{7}{3} \Leftrightarrow \frac{(2x^2+6x+3)(x-1)^2}{3x^2}\geq 0$ ( đúng)
CMTT ta dc: $\sum \frac{1}{x^2}+\frac{2}{3}x^2\geq -\frac{2}{3}(x+y+z)+7=5$ (dpcm)
Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu
Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió
Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc
Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào
Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây
Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??
will you wait for me forever
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh