Chủ đề này có 3 trả lời

[Chaosemperordragon]

Cho dãy $ (u_n) $ thỏa mãn. Chứng minh dãy $ (u_n) $ có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.

$ u_1=2016 $

$ u_{n+1}=\sqrt{3}+\frac{u_n}{\sqrt{u^{2}_n-1}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chaosemperordragon: 01-09-2016 - 21:10

[Chaosemperordragon]

ai giúp với

[ecchi123]

$Bài này tính đạo hàm ra là dc mà bạn$

[An Infinitesimal]

Cho dãy $ (u_n) $ thỏa mãn. Chứng minh dãy $ (u_n) $ có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.

$ u_1=2016 $

$ u_{n+1}=\sqrt{3}+\frac{u_n}{\sqrt{u^{2}_n-1}}$

 

 

Cách 1: Dùng bổ đề Bolzano-Weierstrass

 

Đặt $f(x)=\sqrt{3}+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ với $x\in D:= [\sqrt{3},\infty).$

Vì $f'(x)=-\sqrt{(x^2-1)^3}<0 \forall x\in \mathbb{D}$ nên $f$ nghịch biến trên $D$.

Hiển nhiên $u_n>0, u_n>\sqrt{3}$. Do đó $u_n\in D \, \forall n\in \mathbb{N}.$

Vì $u_3, u_2=f(u_1)<u_1$ và $f$ là hàm giảm nên

$$u_2<u_4<...<u_{2k}<u_{2k+2}<...<,$$

 

$$u_1>u_3<...<u_{2k-1}>u_{2k+1}>...>1.$$

và $u_n\ge \sqrt{3}$; do đó $u_n\le f(\sqrt{3}) \, \forall n\ge 2.$

 

Suy ra $\left(u_{2n}\right)$ và  $\left(u_{2n+1}\right)$  hội tụ.

 

Sau cùng, ta chứng minh 2 dãy trên cùng hội tụ về cùng một số thực.

 

Giả sử $\lim_{n\to\infty} u_{2n}=a, \lim_{n\to\infty} u_{2n+1}=b,$

trong đó $a,\, b \ge \sqrt{3}.$

Từ hệ thức truy hồi, cho qua giới hạn, ta thu được hệ sau

$$\begin{cases} a=f(b),\\ b=f(a).\end{cases}$$

Vì tính đơn điệu giảm của hàm $f$, ta có $a=b$. Suy ra điều cần chứng minh.

 

Cách 2: Dãy co

 

 

Đặt $f(x)=\sqrt{3}+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ với $x\in D:= [\sqrt{3},\infty).$

 

Nhận xét: $\left|f'(x)\right| \le \frac{\sqrt{3}}{4}<1 \forall x\in D.$

 

Hơn nữa,  $u_n\in D \, \forall n\in \mathbb{N}.$

Xét $a= \frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}$ là nghiệm duy nhất của phương trình $a=f(a)$ trên $D$.

 

Dùng định lý Lagrange, ta có

$$\left|x_{n+1}-a\right|=\left|f(x_{n})-f(a)\right|=\left|x_{n}-a\right||f'(zeta_n)| \le \frac{\sqrt{3}}{4}\left|x_{n}-a\right|.$$

Do đó, $\{x_n\}$ hội tụ về $a$.