Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{3xy-1}{x+y}\not\equiv 4(mod6)$

- - - - -

Lời giải canhhoang30011999, 03-09-2016 - 00:09

giả sử phản chứng ta có $\frac{3xy-1}{x+y}=3x-\frac{3x^{2}+1}{x+y} \equiv 4(\bmod 6)$

từ đó ta có$\frac{3x^{2}+1}{x+y}\equiv -1 (\bmod 6)$

đặt $x+y=2^t.l,3x^{2}+1=2^{t}.n$

ta có các ước nguyên tố của $l,n$ đều có dạng 6k+1 nên vô lí

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết

Cho $x, y$ nguyên dương sao cho $\frac{3xy-1}{x+y}$ nguyên dương. CM:$\frac{3xy-1}{x+y}\not\equiv 4(mod6)$

(AoPS)



#2
canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
✓  Lời giải

giả sử phản chứng ta có $\frac{3xy-1}{x+y}=3x-\frac{3x^{2}+1}{x+y} \equiv 4(\bmod 6)$

từ đó ta có$\frac{3x^{2}+1}{x+y}\equiv -1 (\bmod 6)$

đặt $x+y=2^t.l,3x^{2}+1=2^{t}.n$

ta có các ước nguyên tố của $l,n$ đều có dạng 6k+1 nên vô lí



#3
hoangvunamtan123

hoangvunamtan123

    Trung sĩ

  • Banned
  • 107 Bài viết

giả sử phản chứng ta có $\frac{3xy-1}{x+y}=3x-\frac{3x^{2}+1}{x+y} \equiv 4(\bmod 6)$

từ đó ta có$\frac{3x^{2}+1}{x+y}\equiv -1 (\bmod 6)$

đặt $x+y=2^t.l,3x^{2}+1=2^{t}.n$

ta có các ước nguyên tố của $l,n$ đều có dạng 6k+1 nên vô lí 

mình nghĩ bạn nên giải thêm 1 TH : $\frac{3x^2+1}{x+y}\equiv -4( mod 6)$ hoặc chứng minh nó chỉ có thể đồng dư với -1(mod6) như bạn nói 



#4
canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết

nếu $\frac{3x^{2}+1}{x+y}\equiv 1 (\bmod 6)$ thì nó lẻ nên ko cần xét th trên






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh