Cho $x, y$ nguyên dương sao cho $\frac{3xy-1}{x+y}$ nguyên dương. CM:$\frac{3xy-1}{x+y}\not\equiv 4(mod6)$
(AoPS)
Lời giải canhhoang30011999, 03-09-2016 - 00:09
giả sử phản chứng ta có $\frac{3xy-1}{x+y}=3x-\frac{3x^{2}+1}{x+y} \equiv 4(\bmod 6)$
từ đó ta có$\frac{3x^{2}+1}{x+y}\equiv -1 (\bmod 6)$
đặt $x+y=2^t.l,3x^{2}+1=2^{t}.n$
ta có các ước nguyên tố của $l,n$ đều có dạng 6k+1 nên vô lí
Đi đến bài viết »Cho $x, y$ nguyên dương sao cho $\frac{3xy-1}{x+y}$ nguyên dương. CM:$\frac{3xy-1}{x+y}\not\equiv 4(mod6)$
(AoPS)
For the love of Canidae
giả sử phản chứng ta có $\frac{3xy-1}{x+y}=3x-\frac{3x^{2}+1}{x+y} \equiv 4(\bmod 6)$
từ đó ta có$\frac{3x^{2}+1}{x+y}\equiv -1 (\bmod 6)$
đặt $x+y=2^t.l,3x^{2}+1=2^{t}.n$
ta có các ước nguyên tố của $l,n$ đều có dạng 6k+1 nên vô lí
mình nghĩ bạn nên giải thêm 1 TH : $\frac{3x^2+1}{x+y}\equiv -4( mod 6)$ hoặc chứng minh nó chỉ có thể đồng dư với -1(mod6) như bạn nói
nếu $\frac{3x^{2}+1}{x+y}\equiv 1 (\bmod 6)$ thì nó lẻ nên ko cần xét th trên
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh