Chủ đề này có 1 trả lời

[babystudymaths]

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O). P$ là điểm bất kì trong tam giác. $AP, BP, CP$ lần lượt cắt $BC, CA, AB$ tại $A_{1}, B_{1}, C_{1}$. $(AB_{1}C_{1}) , (BA_{1}C_{1}), (CB_{1}A_{1})$ lần lượt cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 là $A_{2}, B_{2}, C_{2}$.

$Q$ là điểm bất kì trong tam giác . $AQ, BQ, CQ$ lần lượt cắt $BC, CA, AB$ tại $A_{3}, B_{3}, C_{3}$. $A_{2}A_{3}, B_{2}B_{3},C_{2}C_{3}$ lần lượt cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 là $A_{4}, B_{4}, C_{4}$. 

Chứng minh rằng $AA_{4}, BB_{4}, CC_{4}$ đồng quy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 04-09-2016 - 10:28

[baopbc]

$\textbf{Lời giải.}$ Ta có $\angle A_2C_1A=\angle A_2B_1A,\angle A_2BC_1=\angle A_2CB_1$ nên $\triangle A_2C_1B\sim \triangle A_2B_1C$ (góc - góc). Do đó

\[\frac{A_2B}{A_2C}=\frac{BC_1}{CB_1}\]

Suy ra \[\frac{A_4B}{A_4C}=\frac{[BA_2A_3]\cdot CA_2}{[CA_2A_3]\cdot BA_2}=\frac{BA_3\cdot CA_2}{CA_3\cdot BA_2}=\frac{BA_3\cdot CB_1}{CA_3\cdot BC_1}\]

Từ đây áp dụng định lí $\text{Ceva}$ cho $\triangle ABC$ với $AA_1,BB_1,CC_1$ và $AA_3,BB_3,CC_3$ đồng quy ta suy ra

\[\prod \frac{A_4B}{A_4C}=1\]

Do đó theo bổ đề $\text{Ceva}$ trong đường tròn ta suy ra $AA_4,BB_4,CC_4$ đồng quy.

PS. Kỳ thực nếu sử dụng lượng giác thì sẽ gọn hơn!