Chủ đề này có 2 trả lời

[quanguefa]

Cho 0<x, y, z<1 và xy+yz+xz=1. Tìm GTNN của:

$P=(\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x})-\sum x^{2}$

[E. Galois]

Đặt: $p=x+y+z, q=xy+yz+zx=1, r=xyz$. Ta có: $x^2+y^2+z^2 =p^2-2$. Và:

$$p^2 \geq 3q = 1 \Rightarrow p \geq \sqrt{3}$$

Do đó: $p<2$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwart Ta có:

$$\begin{align*} P& =\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x}-x^{2} - y^2 - z^2 \\ & = \frac{x^2(1-y)}{y}+\frac{y^2(1-z)}{z}+\frac{z^2(1-x)}{x} \\ & = \frac{x^2(1-y)^2}{y(1-y)}+\frac{y^2(1-z)^2}{z(1-z)}+\frac{z^2(1-x)^2}{x(1-x)} \\ & \geq \frac{(x+y+z-1)^2}{x+y+z-(x^2+y^2+z^2)} = \frac{(p-1)^2}{p-p^2+2}=f(p)\end{align*}$$

Xét hàm số $f(p)$ trên $[\sqrt{3} ; 2 )$. Ta có:

$$P=f(p) \geq f\left( \sqrt{3} \right) = \sqrt{3}-1$$

Suy ra

$$\min P = \sqrt{3}-1 \Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}} $$ 

[quanguefa]

Đặt: $p=x+y+z, q=xy+yz+zx=1, r=xyz$. Ta có: $x^2+y^2+z^2 =p^2-2$. Và:

$$p^2 \geq 3q = 1 \Rightarrow p \geq \sqrt{3}$$

Do đó: $p<2$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwart Ta có:

$$\begin{align*} P& =\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x}-x^{2} - y^2 - z^2 \\ & = \frac{x^2(1-y)}{y}+\frac{y^2(1-z)}{z}+\frac{z^2(1-x)}{x} \\ & = \frac{x^2(1-y)^2}{y(1-y)}+\frac{y^2(1-z)^2}{z(1-z)}+\frac{z^2(1-x)^2}{x(1-x)} \\ & \geq \frac{(x+y+z-1)^2}{x+y+z-(x^2+y^2+z^2)} = \frac{(p-1)^2}{p-p^2+2}\end{align*}$$

Xét hàm số $f(p)$ trên $[\sqrt{3} ; 2 )$. Ta có:

$$P=f(p) \geq f\left( \sqrt{3} \right) = \sqrt{3}-1$$

Suy ra

$$\min P = \sqrt{3}-1 \Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}} $$ 

Hóa ra là dồn biến thôi mà ban đầu anh đặt p, q, r làm em thấy hơi sợ :/ Tại đây là đề thi thử ĐH thôi ạ!

Chỗ đưa về cái hàm rồi nhưng a ghi lộn p với q.

Cảm ơn ạ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanguefa: 27-09-2016 - 05:48