Cho $x^2+y^2+z^2=169$. Tìm Max P=$2x+4y+5\sqrt{z}$
#2
Đã gửi 12-09-2016 - 16:13
E. Galois
-
- Quản lý Toán Phổ thông
-
- 3861 Bài viết
Chú lùn thứ 8
Cho $x^2+y^2+z^2=169$. Tìm Max P=$2x+4y+5\sqrt{z}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schawrz, ta có:
$$P=2x+4y+5\sqrt{z}\leq \sqrt{20}.\sqrt{169-z^2}+5\sqrt{z} = f(z)$$.
Xét hàm số $f(z) = \sqrt{20}.\sqrt{169-z^2}+5\sqrt{z} $ trong $[0;13]$, ta có:
$$f'(z) = \frac{z\sqrt{20}}{\sqrt{169-z^2}}-\frac{5}{2\sqrt{z}}; \quad f'(z)=0 \Leftrightarrow z = z_0 \in [0;13]$$
Trong đó, $z_0 \approx 3,6505$. Lập bảng biến thiên của hàm số, ta thu được:
$$P \leq f(z) \leq f(z_0)$$
Vậy
$$\max P = f(z_0) \Leftrightarrow \begin{cases} 2x=y \\ z = z_0 \\ x^2+y^2+z^2=169\end{cases}$$
P/s: Nếu thay số $5$ trong đề bài thành $\frac{25}{3}$ thì đẹp hơn. Max $P$ sẽ đạt tại $\left ( \frac{12}{\sqrt{5}};\frac{24}{\sqrt{5}};5 \right )$
- Math Master yêu thích
1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại http://Chúlùnthứ8.vn
5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: ab
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\geq \frac{9}{4}$Bắt đầu bởi Trinh Hong Ngoc, 09-01-2015  ab
|
|
|
|
|
|
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\geq \frac{3}{2}$Bắt đầu bởi Trinh Hong Ngoc, 04-01-2015 ab
|
|
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
