Chủ đề này có 2 trả lời

[le truong son]

Bài 1: Chứng minh rằng $(2^a-1;2^b-1)=2^{(a;b)} -1$

Bài 2: Cho  a, m, n là các số nguyên dương, a > 1 và (m, n) = 1. Chứng minh rằng :

       $(a-1)(a^{mn}-1)\vdots (a^m-1)(a^n-1)$

Bài 3; Chứng minh răng $[1;2;..;2n]=(n+1;n+2;...;2n)$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpdtthltvp: 08-09-2016 - 20:46

[I Love MC]

1) Đặt $d=(2^a-1,2^b-1)$ và $d'=(a,b)$ 
Dễ thấy rằng $2^a-1 \vdots 2^{d'}-1 ,2^b-1 \vdots 2^{d'}-1$ do đó $d \vdots 2^{d'}-1$ 
Vì $d'=(a,b)$ nên tồn tại $u,v$ nguyên dương sao cho $ua-vb=d'$ 
Có $2^{ua}-1 \vdots 2^a-1 \vdots d$ và $2^{bv}-1 \vdots 2^b-1 \vdots d$ 
Do đó $2^{ua}-2^{bv}=2^{bv}.(2^{ua-vb}-1)=2^{bv}.(2^{d'}-1) \vdots d$ mà rõ ràng $d$ lẻ suy ra $2^{d'}-1 \vdots d$ 
Vậy $d=2^{d'}-1$ 
3) Cái vế trái là $[n+1,n+2,..,2n]$ 
Để ý rằng trong $k$ số nguyên liên tiếp chỉ có một số duy nhất chia hết cho $k$ 
Do đó bất kì số nào trong các số $\{1,2,..,2n\}$ đều là ước một số nào đó trong các số $\{n+1,n+2,.,2n}$ 
Do đó có đpcm 

[hoangvunamtan123]

câu 2  :$a^{mn}-1\vdots (a^m-1);\vdots (a^n-1)$ Mà (m;n)=1 suy ra $((a^m-1),(a^n-1))=$a^{(m;n)}-1=a-1$ ta có điều phải chứng minh