6 replies to this topic

[thuylinhnguyenthptthanhha]

Bài toán:

                 Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=5.$ Tìm min: $F=3x^2+3y^2+z^2$

[TNTFlashNo1]

trong quyển cosi của võ quốc bá cẩn có phương pháp giải

mở ra mà xem

[CaptainCuong]

Ta có:

$x^2+y^2\geq 2xy$

$2y^2+\frac{1}{2}z^2\geq2yz$

$2x^2+\frac{1}{2}z^2\geq2zx$

$\Rightarrow 3x^2+3y^2+z^2\geq 2(xy+yz+zx)=10$

[thuylinhnguyenthptthanhha]

trong quyển cosi của võ quốc bá cẩn có phương pháp giải

mở ra mà xem

chi tiết đc ko bạn, với lại mk chưa tậu cuốn đó TT

   

[goda takeshi]

Ta có:

 

x2+y2≥2xyx2+y2≥2xy

 

2y2+12z2≥2yz2y2+12z2≥2yz

 

 

2x2+12z2≥2zx2x2+12z2≥2zx

 

 

⇒3x2+3y2+z2≥2(xy+yz+zx)=10

Edited by goda takeshi, 11-09-2016 - 12:50.

[12345678987654321123456789]

Bài toán:

                 Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=5.$ Tìm min: $F=3x^2+3y^2+z^2$

Ta tìm cách biến đổi biểu thức $F$ sao cho xuất hiện giả thiết

$F=mx^2+\frac{z^2}{2}+my^2+\frac{z^2}{2}+(3-m)(x^2+y^2)\\\geq 2\sqrt{mx^2.\frac{z^2}{2}}+2\sqrt{my^2.\frac{z^2}{2}}+2(3-m)xy\\\geq\sqrt{2m}xz+\sqrt{2m}yz+2(3-m)xy,\forall m\in(0;3)$

Để có thể áp dụng được giả thiết thì ta phải tìm hằng số $m$ sao cho $\sqrt{2m}=2(3-m)$ và $m\in(0;3)$

Dễ dàng tìm được $m=2$

Do đó $F\geq\sqrt{2m}(xy+yz+xz)=10$

[Nguyenhuyen_AG]

Bài toán:

                 Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=5.$ Tìm min: $F=3x^2+3y^2+z^2$

 

Ta có

\[3x^2+3y^2+z^2 - 2(xy+yz+zx) = \frac13(3x-y-z)^2+\frac23(2y-z)^2 \geqslant 0.\]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $2x=2y=z.$ Cho $xy+yz+zx=5$ ta thu được bài toán ba đầu.