Đến nội dung

Hình ảnh

$a_{n+1}=\frac{2}{a_{n}+a_{n-1}}$

- - - - - lim

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết
$1)$ Cho $a_{0},a_{1}>0$ và
$$a_{n+1}=\frac{2}{a_{n}+a_{n-1}}$$
Chứng minh dãy số này có giới hạn hữu hạn .
$2)$ Cho $x_{1}=2,x_{2}=3$ và
$$x_{n+1}=\frac{n+1}{2n}x_{n}+\frac{n-2}{3n}x_{n-1}+\frac{1}{6}$$
Tính $lim x_{n}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 12-09-2016 - 22:33

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#2
canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết

2 bằng quy nạp ta có $1-\frac{6}{n} \leq x_{n} \leq \frac{n+1}{n-1}$ với $n \geq 5$ nên $limx_{n} =1$



#3
redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết

Đặt $b_n= a_n+\frac{1}{a_n}\Rightarrow b_{n+2}\leq \frac{b_{n+1}+b_n}{2}$ suy ra $(b_n)$ hội tụ (xét dãy phụ $M_n=max(b_n;b_{n+1})$). Đặt $limb_n=L$

Giả sử $L>2$. Chọn $0<\varepsilon <\frac{4L-8}{3L}$ và $\forall n\geq n_0,L-\varepsilon \leq b_n\leq L+\varepsilon$. Với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt $x^2-(L-\varepsilon)x+1=0$ và $y_1,y_2$ là nghiệm của pt $y^2-(L+\varepsilon)y+1=0$ ($x_1<x_2, y_1<y_2$), ta có $a_n,\frac{1}{a_n}\in [y_1;x_1]\cup [x_2;y_2]$.

Để ý $x_1-y_1=y_2-x_2< x_2-x_1\Rightarrow \frac{z+t}{2}\notin [y_1;x_1]\cup [x_2;y_2],\forall z\in [y_1;x_1],t\in [x_2;y_2]$ mà $\frac{a_n+a_{n+1}}{2}= \frac{1}{a_{n+2}}\in [y_1;x_1]\cup [x_2;y_2]$ nên $a_n,a_{n+1}$ thuộc cùng một tập, giả sử $[y_1;x_1]$. Chứng minh tương tự ta có $a_{n+1},a_{n+2}\in [y_1;x_1]$

Nhưng $\frac{1}{a_{n+2}}=\frac{a_n+a_{n+1}}{2}\in [y_1;x_1]\Rightarrow a_{n+2}\in [\frac{1}{x_1};\frac{1}{y_1}]=[x_2;y_2]$ (mâu thuẫn).

Vậy $L=2$, dễ có $(a_n)$ hội tụ ($lima_n=1$, xét khoảng nghiệm như trên).

(Q.E.D)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 17-09-2016 - 17:49






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: lim

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh