Đặt $b_n= a_n+\frac{1}{a_n}\Rightarrow b_{n+2}\leq \frac{b_{n+1}+b_n}{2}$ suy ra $(b_n)$ hội tụ (xét dãy phụ $M_n=max(b_n;b_{n+1})$). Đặt $limb_n=L$
Giả sử $L>2$. Chọn $0<\varepsilon <\frac{4L-8}{3L}$ và $\forall n\geq n_0,L-\varepsilon \leq b_n\leq L+\varepsilon$. Với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt $x^2-(L-\varepsilon)x+1=0$ và $y_1,y_2$ là nghiệm của pt $y^2-(L+\varepsilon)y+1=0$ ($x_1<x_2, y_1<y_2$), ta có $a_n,\frac{1}{a_n}\in [y_1;x_1]\cup [x_2;y_2]$.
Để ý $x_1-y_1=y_2-x_2< x_2-x_1\Rightarrow \frac{z+t}{2}\notin [y_1;x_1]\cup [x_2;y_2],\forall z\in [y_1;x_1],t\in [x_2;y_2]$ mà $\frac{a_n+a_{n+1}}{2}= \frac{1}{a_{n+2}}\in [y_1;x_1]\cup [x_2;y_2]$ nên $a_n,a_{n+1}$ thuộc cùng một tập, giả sử $[y_1;x_1]$. Chứng minh tương tự ta có $a_{n+1},a_{n+2}\in [y_1;x_1]$
Nhưng $\frac{1}{a_{n+2}}=\frac{a_n+a_{n+1}}{2}\in [y_1;x_1]\Rightarrow a_{n+2}\in [\frac{1}{x_1};\frac{1}{y_1}]=[x_2;y_2]$ (mâu thuẫn).
Vậy $L=2$, dễ có $(a_n)$ hội tụ ($lima_n=1$, xét khoảng nghiệm như trên).
(Q.E.D)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 17-09-2016 - 17:49