Chủ đề này có 13 trả lời

[Baoriven]

Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh rằng:

$\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+\frac{(c+a-b)^2}{(c+a)^2+b^2}+\frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}\geq \frac{3}{5}$

[loolo]

Em làm theo cách chuẩn hóa: 

Chuẩn hóa a+b+c=3

bđt cần CM tương đương:

$\sum \frac{(3-2a)^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{3}{5}$

Chứng minh bđt: $\frac{(3-2a)^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{23}{23}-\frac{18}{25}a$

Tương tự ta ta được:

$\sum \frac{(3-2a)^{2}}{2a^{2}-6a+9}\geq \frac{69}{25}-\frac{18}{25}(a+b+c)=\frac{3}{5}$

Dấu " = " tại a=b=c

[Element hero Neos]

Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh rằng:

$\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+\frac{(c+a-b)^2}{(c+a)^2+b^2}+\frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}\geq \frac{3}{5}$

Chuẩn hóa 

a+b+c=3

Khi đó cần chứng minh

$\sum\frac{(3-a-a)^2}{(3-a)^2+a^2}=\sum\frac{(3-2a)^2}{(3-a)^2+a^2}\geq\frac{3}{5}$

Ta có

$\frac{(3-2a)^2}{(3-a)^2+a^2}+\frac{18x-23}{25}=\frac{18(2a+1)(a-1)^2}{2((3-a)^2+a^2)}\geq 0,\forall a>0$

Tương tự cộng lại có đpcm.

[Baoriven]

Anh chuẩn hóa $a+b+c=1$.

Từ đó ta cần chứng minh: $f(a)+f(b)+f(c)\leq \frac{27}{5},f(x)=\frac{1}{2x^2-2x+1}$ với $x\in (0;1)$.

Tiếp tuyến của đồ thị tại $y=f(x)$ tại hoành điểm có hoành độ $x=\frac{1}{3}$ là : $y=\frac{54x+27}{25}$.

Ta có: $\frac{54x+27}{25}-f(x)=\frac{2(3x-1)^2(6x+1)}{25(2x^2-2x+1)}\geq 0,\forall x\in (0;1)$.

Từ đó ta có đpcm. 

[Nguyenhuyen_AG]

Cho $a,\,b,\,c$ là ba số thực sao cho $a^2 + b^2 + c^2 > 0.$ Chứng minh rằng

$$\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+\frac{(c+a-b)^2}{(c+a)^2+b^2}+\frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}\geq \frac{3}{5}.$$

[MrS]

 

Cho $a,\,b,\,c$ là ba số thực sao cho $a^2 + b^2 + c^2 > 0.$ Chứng minh rằng

$$\frac{(b+c-a)^2}{(b+c)^2+a^2}+\frac{(c+a-b)^2}{(c+a)^2+b^2}+\frac{(a+b-c)^2}{(a+b)^2+c^2}\geq \frac{3}{5}.$$

 

Chuẩn hóa a+b+c =3, BĐT tương đương với:

$\sum \frac{1}{2a^2-6a+9}\leq \frac{3}{5}$

Dễ thấy: $\frac{1}{2x^2-6x+9}\leq \frac{2x+3}{25}$ với mọi $x\geq \frac{-1}{2}$ (nó tương đương với: $\frac{2(x-1)^2(2x+1)}{2x^2-6x+9}\geq 0$, mọi $x\geq \frac{-1}{2}$ )

Giả sử: $a\geq b\geq c\Rightarrow a\geq 1\geq c$

TH1: Nếu $a\geq b\geq c\geq \frac{-1}{2}$ thì $VT\leq \frac{2\sum a+9}{25}=\frac{3}{5}$

TH2: Nếu $c< \frac{-1}{2}$, dễ thấy $f(c)=\frac{1}{2c^2-6c+9}$ đồng biến với  $c< \frac{-1}{2}$ nên $f(c)< f(\frac{-1}{2})=\frac{2}{25}$

Lại có $\frac{1}{2a^2-6a+9}+\frac{1}{2b^2-6b+9}=\frac{1}{2(a-3/2)^2+9/2}+\frac{1}{2(b-3/2)^2+9/2}< \frac{1}{9/2}+\frac{1}{9/2}=\frac{4}{9}$

Từ đó suy ra $VT< \frac{2}{25}+\frac{4}{9}=\frac{118}{225}<\frac{3}{5}$

Từ các TH suy ra Đpcm. 

[Nguyenhuyen_AG]

Chuẩn hóa a+b+c =3, BĐT tương đương với:

 

Lời giải của MrS sai ngay từ đây.

[MrS]

Lời giải của MrS sai ngay từ đây.

Phải xét a+b+c=0 nữa hả anh ơi? 

[Nguyenhuyen_AG]

Phải xét a+b+c=0 nữa hả anh ơi? 

 

Để chuẩn hóa $a+b+c=3$ thì em cần phải có $a+b+c>0.$ Nhưng điều này ta có thể giả sử được, em thử nghĩ xem nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenhuyen_AG: 21-09-2016 - 00:08

[MrS]

Để chuẩn hóa $a+b+c=3$ thì em cần phải có $a+b+c>0.$ Nhưng điều này ta có thể giả sử được, em thử nghĩ xem nhé.

Trước em có đọc 1 vài tài liệu thì người ta nói rằng: Nếu thay bộ (a,b,c) bởi (-a,-b,-c) BĐT không đổi thì có thể giả sử a+b+c > 0. Không  biết có đúng không ạ? 

[Nguyenhuyen_AG]

Đúng rồi em.

[MrS]

Đúng rồi em.

Anh ơi em có vài thắc mắc anh giúp em với

"Từ việc thay (a,b,c) bởi (-a,-b,-c) mà BĐT không đổi tại sao lại chỉ cần xét khi a,b,c không âm nhỉ". Nếu đẳng thức xảy là khi có cả số âm, cả không âm thì sao nhỉ? 

[Nguyenhuyen_AG]

Anh ơi em có vài thắc mắc anh giúp em với

"Từ việc thay (a,b,c) bởi (-a,-b,-c) mà BĐT không đổi tại sao lại chỉ cần xét khi a,b,c không âm nhỉ". Nếu đẳng thức xảy là khi có cả số âm, cả không âm thì sao nhỉ? 

 

Nếu $x + y = 0$ thì trong hai số $x,y$ sẽ có một số $\geqslant 0.$ Mà

\[a+b+c+[(-a) +(-b)+(-c)] = 0.\]

[MrS]

Nếu $x + y = 0$ thì trong hai số $x,y$ sẽ có một số $\geqslant 0.$ Mà

\[a+b+c+[(-a) +(-b)+(-c)] = 0.\]

Từ trước tới nay em toàn làm máy móc và hiểu sai bản chất (