Chủ đề này có 2 trả lời

[Kagome]

Cho $x;y;z>0$ thỏa $xy+yz+zx=5$. Tìm GTNN của $P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^{2}+5)}+\sqrt{6(y^{2}+5)}+\sqrt{z^{2}+5}}$.

[leminhnghiatt]

Cho $x;y;z>0$ thỏa $xy+yz+zx=5$. Tìm GTNN của $P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^{2}+5)}+\sqrt{6(y^{2}+5)}+\sqrt{z^{2}+5}}$.

 

$P=\dfrac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x+y)(x+z)}+\sqrt{6(y+z)(y+x)}+\sqrt{(z+x)(z+y)}}$

 

$=\dfrac{3x+3y+2z}{\sqrt{(3x+3y)(2x+2z)}+\sqrt{(2y+2z)(3y+3x)}+\sqrt{(z+x)(z+y)}}$

 

$\geq \dfrac{3x+3y+2z}{\dfrac{5x+3y+2z}{2}+\dfrac{5y+3x+2z}{2}+\dfrac{2z+x+y}{2}}$

 

$=\dfrac{2(3x+3y+2z)}{3(3x+3y+2z)}=\dfrac{2}{3}$

 

Dấu "=" $\iff x=y=\dfrac{z}{2}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leminhnghiatt: 16-09-2016 - 22:18

[hanguyen445]

Cho $x;y;z>0$ thỏa $xy+yz+zx=5$. Tìm GTNN của $P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6(x^{2}+5)}+\sqrt{6(y^{2}+5)}+\sqrt{z^{2}+5}}$.

Ta có: $x^2+5=x^2+xy+yz+zx=(x+y)(x+z);y^2+5=(y+z)(y+x)\Rightarrow\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}$

$=\sqrt{x+y}(\sqrt{x+z}+\sqrt{y+z}\le \sqrt{2(x+y)(x+y+2z)};z^2+5=(z+x)(z+y)\le\dfrac{(x+y+2z)^2}{4}$

Suy ra P$\geq 2\dfrac{3(x+y)+2z}{4\sqrt{3(x+y)(x+y+2z)}+(x+y+2z)}$

$=2\dfrac{t+3}{4\sqrt{3(t+1)}+t+1}$ với $t=\dfrac{2z}{x+y}>0$

Ta chứng minh $P\ge\dfrac{2}{3}\Leftrightarrow (t-2)^2\ge 0$ luôn đúng.

Vậy $Min P=\dfrac{2}{3}$ khi $x=y=1;z=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 17-09-2016 - 13:58