Chủ đề này có 25 trả lời

[Long Phi]

có khác gì nhau đâu nhỉ, hay ý của bạn là sau mỗi bước là 1 tập nên cần nhiều nhất $2^n$ bước trong khi ta cần chứng minh là ít hơn $2^n$ bước. Nếu là như vậy thì ngay từ khi chưa di chuyển ta đã có 1 tập rồi, cần nhiều nhất $2^n-1$ bước nữa để tạo ra $2^n$ tập thôi

[lahantaithe99]

THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VÒNG 2 NGÀY 1

 

 

Bài 1: Cho dãy $(x_n)$ với $n\in\mathbb{Z}^+$  xác định bởi $\left\{\begin{matrix}x_1=3,x_2=7\\ x_{n+2}=x_{n+1}^2-x_n^2+x_n\end{matrix}\right.$

Đặt $y_n=\sum ^{n}_{k=1}\frac{1}{x_k}$. CMR $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

 

Bài 2: Tìm tất cả các cặp $(a,p)$ thỏa mãn $2p^2-1=7^a$ với $p\in\mathbb{P}$ và $a\in\mathbb{N}$

 

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ nhọn ( $AB<AC$) nội tiếp đường tròn tâm $(O)$, trực tâm $H$. $P$ là một điểm nằm trên trung trực của $BC$ và nằm trong tam giác $ABC$. Đường thẳng qua $A$ song song với $PH$ cắt $(O)$ tại $E$ khác $A$. Đường thẳng qua $E$ song song với $AH$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $E$. $Q$ là điểm đối xứng với $P$ qua $O$. Đường thẳng qua $F$ song song với $AQ$ cắt $PH$ tại $G$.

(a) CMR các điểm $B,C,P,G$ cùng thuộc một đường tròn tâm $K$

(b) $AQ\cap (O)\equiv R\neq A$, $PQ\cap FR\equiv L$. Chứng minh rằng $KL=OP$

 

Bài 4: Trong các tập hợp con của tập hợp gồm $2016$ số nguyên dương đầu tiên $\left \{ 1,2,...,2016 \right \}$ có tính chất: Hiệu hai phần tử bất kỳ của tập hợp con luôn khác $4$ và khác $7$ . Tìm GTLN của số lượng các phần tử của mỗi tập con này. 

[Minh Hieu Hoang]

Câu 1:

Ta xét 2 trường hợp:

TH1: $5^n \mid a^2$

Khi đó đặt $a^2=k.5^n\implies k(k.5^n+1)=5^{n+1}-p^3\iff  p^3+k=5^n(5-k^2)$

Dễ thấy $VP>0\implies$ $k=1$ hoặc $k=2$

$k=1\implies p^3+1=4.5^n\iff \left ( \frac{p+1}{4} \right )(p^2-p+1)=5^n$

Chú ý rằng $\gcd (\frac{p+1}{4},p^2-p+1)=1$ nên $PT$ vô nghiệm

$k=2\implies p^3=5^n-2$ (vô nghiệm theo modulo $5$)

 

TH2: $5^n\mid a^2+1$

Tương tự$\implies p^3-k=5^n(5-k^2)$

Dễ thấy $p^3>k$ nên $k=1$ hoặc $k=2$
$k=1\implies p^3=4.5^n+1$ (vô nghiệm)

$k=2\implies p^3=5^n+2$

$n$ chẵn ta có $3\mid p\implies (p,n)=(3,2)$

$n$ lẻ ta có $p^3-1=5^{n}+1\implies v_2(p^3-1)=v_2(5^n+1)\iff v_2(p-1)=v_2(n)>0$

$\implies 2\mid n$ (vô lí)

 

Kết luận: $(a,p,n)=(7,3,2)$

 

P/s: Đã sửa lại

 

[redfox]

Bài 2: Ta cũng có thể xài đơn biến. Cuốn sách sai vị trí ta điền số $1$, đúng vị trí ta điền số $0$. Xét số nhị phân được tạo thành.

Sau khi chuyển $1$ cuốn sách về đúng vị trí, chữ số hàng đó chuyển từ $1$ đến $0$, các chữ số trước nó không thay đổi. Vậy số nhị phân luôn giảm.

Từ trạng thái ban đầu, số không lớn hơn $2^n-1$, đến trạng thái cuối, số đó là $0$. Vậy cần ít hơn $2^n$ bước.

(Q.E.D)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 18-10-2016 - 22:07

[Thuat ngu]

Câu 1:

Ta xét 2 trường hợp:

TH1: $5^n \mid a^2$

Khi đó đặt $a^2=k.5^n\implies k(k.5^n+1)=5^{n+1}-p^3\iff  p^3+k=5^n(5-k^2)$

Dễ thấy $VP>0\implies$ $k=1$ hoặc $k=2$

$k=1\implies p^3+1=4.5^n\iff \left ( \frac{p+1}{4} \right )(p^2-p+1)=5^n$

Chú ý rằng $\gcd (\frac{p+1}{4},p^2-p+1)=1$ nên $PT$ vô nghiệm

$k=2\implies p^3=5^n-2$ (vô nghiệm theo modulo $5$)

 

TH2: $5^n\mid a^2+1$

Tương tự$\implies p^3-k=5^n(5-k^2)$

Dễ thấy $p^3>k$ nên $k=1$ hoặc $k=2$
$k=1\implies p^3=4.5^n+1$ (vô nghiệm)

$k=2\implies p^3=5^n+2$

$n$ chẵn ta có $3\mid p\implies (p,n)=(3,2)$

$n$ lẻ ta có $p^3-1=5^{n}+1\implies v_2(p^3-1)=v_2(5^n+1)\iff v_2(p-1)=v_2(n)>0$

$\implies 2\mid n$ (vô lí)

 

Kết luận: $(a,p,n)=(7,3,2)$

 

P/s: Đã sửa lại

Các bạn cho mình hỏi kí hiệu $v_{2}\left ( p^{3}-1 \right )=v_{2}\left ( 5^{n}+1 \right )$ nghĩa là gì vậy?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thuat ngu: 12-01-2017 - 17:31

[SUPERMAN2000]

Cái kết quả quen thuộc ấy chứng minh ntn ạ?

 

Câu 3. a, Do $EF\parallel BC$ nên $\angle FPC=\angle FCE$. Mặt khác dễ thấy $\triangle OCE\sim \triangle BAH$ nên $\frac{OE}{EC}=\frac{BH}{AH}$. Từ đó suy ra $\frac{MH}{HB}=\frac{EC}{EF}$ nên $\triangle FEC\sim \triangle BHM$ (cạnh - góc - cạnh). Do đó $\angle BMQ=\angle FCE=\angle FPC$ nên tứ giác $MQBP$ nội tiếp.

b, Gọi $R$ là giao điểm của $EM$ với $(K)$. Dễ thấy chỉ cần chứng minh tứ giác $RSMT$ điều hòa $\Leftrightarrow P(RMAH)=-1$. Mặt khác do $M$ là trung điểm $AH$ nên ta chỉ cần chứng minh $PR\parallel AH$. Điều này tương đương với chứng minh $\angle PQM+\angle EMQ=180^\circ$.

Do $\angle PQM=90^\circ+\angle BPQ=90^\circ+\angle BMH$ nên ta chỉ cần chứng minh $\angle BME=90^\circ$. Kết quả này quen thuộc!

 

PS

Bài số 2 không biết có nhầm lẫn gì không nhưng nếu xét bậc của đa thức thì suy ra ngay bằng $0$ hoặc $1$ mà?

Em hơi nhầm lẫn, cho em xin lỗi!