Chủ đề này có 1 trả lời

[audreyrobertcollins]

Let x,y,z are positive real number prove that: http://latex.codecog...ac{x}{y+z}

[hieu31320001]

Ta có :   $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b^{2}+c^{2})(b+c)}$

          Tương tự  $\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc(b-c)+ba(b-a)}{(c^{2}+a^{2})(c+a)}$

                          $\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{c}{a+b}=\frac{ca(c-a)+cb(c-b)}{(a^{2}+b^{2})(b+a)}$

    Cộng ba BĐT trên vế theo vế ta có

    $VT-VP\geq \sum ab(a-b)(\frac{1}{(b^{2}+c^{2}(b+c)}-\frac{1}{(c^{2}+a^{2})(c+a)})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca)\sum \frac{ab(a-b)^{2}}{(b^{2}+c^{2}(c^{2}+a^{2})(b+c)(c+a)}\geq 0\Rightarrow VT\geq VP$

    Đẳng thức xảy ra khi a=b=c