Cho $u_{1}=1$ và $u_{n}=\frac{n}{n-1}u_{n-1}+n$ với $n>1$
1/ Xác định công thức tính số hạng tổng quát Un
2/ Chứng minh $u_{1}+u_{2}+...+u_{2016}<2016^{3}$.
Cho $u_{1}=1$ $u_{n}=\frac{n}{n-1}u_{n-1}+n$ Chứng minh $u_{1}+u_{2}+...+u_{2016}<2016^{3}$
Bắt đầu bởi KaveZS, 21-09-2016 - 22:40
#1
Đã gửi 21-09-2016 - 22:40
#2
Đã gửi 16-01-2017 - 02:27
Cho $u_{1}=1$ và $u_{n}=\frac{n}{n-1}u_{n-1}+n$ với $n>1$
1/ Xác định công thức tính số hạng tổng quát Un
2/ Chứng minh $u_{1}+u_{2}+...+u_{2016}<2016^{3}$.
Hệ thức truy hồi có thể viết lại
$\frac{u_n}{n}=\frac{u_{n-1}}{n-1}+1.$
Do đó $\{\frac{u_n}{n}\}$ trở thành cấp số cộng với số hạng "bắt đầu" là 1 và công sai là 1.
Vì thế $\frac{u_n}{n}= n$ hay $u_n=n^2$.
Suy ra $S_n:=u_1+u_2+...+u_{n}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$
Suy ra $S_{2016}<2016^3.(!)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 16-01-2017 - 02:27
- KaveZS yêu thích
Đời người là một hành trình...
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh