Đến nội dung

Hình ảnh

$16xyz(x+y+z)\leq 3\sqrt[3]{(x+y)^{4}(y+z)^{4}(z+x)^4}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
hieu31320001

hieu31320001

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 121 Bài viết

cho 3 số thực dương x,y,z .CMR 

       $16xyz(x+y+z)\leq 3\sqrt[3]{(x+y)^{4}(y+z)^{4}(z+x)^4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieu31320001: 25-09-2016 - 15:33

Knowing both victory and defeat.That is the way you become a real man-Shanks


#2
NTA1907

NTA1907

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1014 Bài viết

cho 3 số thực dương x,y,z .CMR 

       $16xyz(x+y+z)\leq 3\sqrt[3]{(x+y)^{4}(y+z)^{4}(z+x)^4}$

Với $x,y,z>0$ ta luôn có bất đẳng thức sau: $(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)(*)$

Bất đẳng thức này dễ dàng chứng minh được bằng tương đương.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức (*) ta được:

$3\sqrt[3]{(x+y)^{4}(y+z)^{4}(z+x)^{4}}=3(x+y)(y+z)(z+x)\sqrt[3]{(x+y)(y+z)(z+x)}\geq 3.\frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)\sqrt[3]{8xyz}\geq \frac{8}{3}(x+y+z).3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}.\sqrt[3]{8xyz}=16xyz(x+y+z)$.

Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow x=y=z$


Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh