Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$.Tim Min P=$\frac{a^{3}}{a^{2}+4ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+4bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+4ac+a^{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 25-09-2016 - 17:39
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$.Tim Min P=$\frac{a^{3}}{a^{2}+4ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+4bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+4ac+a^{2}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 25-09-2016 - 17:39
Cho a,b,c>0 tm abc=1.Tim Min P=$\frac{a^{3}}{a^{2}+4ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+4bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+4ac+a^{2}}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
$a-\frac{a^{3}}{a^{2}+4ab+b^{2}}=\frac{4a^{2}b+ab^{2}}{a^{2}+ab+ab+ab+ab+b^{2}}\leq \frac{4a^{2}b+ab^{2}}{6\sqrt[6]{(ab)^{6}}}=\frac{2a}{3}+\frac{b}{6}$
$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{a^{2}+4ab+b^{2}}\geq \frac{1}{6}\sum a\geq \frac{1}{6}.3\sqrt[3]{abc}=\frac{1}{2}$
Dấu "=" xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$
Vũ trụ không có biên trong không gian, không có bắt đầu và kết thúc trong thời gian và chẳng có việc gì cho đấng sáng thế phải làm ở đây cả.
Ta
Cho a,b,c>0 tm abc=1.Tim Min P=$\frac{a^{3}}{a^{2}+4ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+4bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+4ac+a^{2}}$
Ta có:
\[\left( {x + y + z} \right)\left( {\frac{{{a^3}}}{x} + \frac{{{b^3}}}{y} + \frac{{{c^3}}}{z}} \right)\left( {1 + 1 + 1} \right) \ge {\left( {a + b + c} \right)^3}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{x} + \frac{{{b^3}}}{y} + \frac{{{c^3}}}{z} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{{3\left( {a + y + z} \right)}}\]
Áp dụng BĐT trên. Ta có:
\[P = \frac{{{a^3}}}{{{a^2} + 4ab + {b^2}}} + \frac{{{b^3}}}{{{b^2} + 4bc + {c^2}}} + \frac{{{c^3}}}{{{c^2} + 4ac + {a^2}}}\]
\[ \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{{3\sum {\left( {{a^2} + {b^2} + 4ab} \right)} }}\]
\[ = \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}{{6{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = \frac{{a + b + c}}{6} \ge \frac{{3\sqrt[3]{{abc}}}}{6} = \frac{1}{2}\]
Cho a,b,c>0 tm abc=1.Tim Min P=$\frac{a^{3}}{a^{2}+4ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+4bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+4ac+a^{2}}$
$\frac{a^{3}}{a^{2}+4ab+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+4bc+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+4ca+a^{2}}\geq \frac{1}{3}(\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{c^{3}}{c^{2}+a^{2}})\geq \frac{1}{6}(a+b+c)\geq \frac{1}{2}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 25-09-2016 - 20:06
Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu
Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió
Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc
Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào
Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây
Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??
will you wait for me forever
$\frac{a^3}{a^2+4ab+b^2}\geq -\frac{1}{6}.b+\frac{1}{3}.a \Leftrightarrow \frac{(a-b)^2(4a+b)}{6(a^2+4ab+b^2)} \rightarrow \sum \frac{a^3}{a^2+4ab+b^2}\geq \frac{1}{6}(a+b+c)\geq \frac{1}{6}.3\sqrt[3]{abc}=\frac{1}{2}$
Anh sẽ vẫn bên em dù bất cứ nơi đâu
Anh sẽ là hạt bụi bay theo gió
Anh sẽ là ngôi sao trên bầu trời phương Bắc
Anh không bao giờ dừng lại ở một nơi nào
Anh sẽ là ngọn gió thổi qua các ngọn cây
Em sẽ mãi mãi đợi anh chứ ??
will you wait for me forever
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh