3 replies to this topic

[hieu31320001]

cho a,b,c là các số thực khác 0. Tìm Min

   P=$\sum \frac{a^{2}}{a^{2}+(b+c)^{2}}$

         

[Hoang Duong]

Dễ dàng chứng minh:

$(a+b+c+d+e)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e})\ge25$

Hay:

$\frac{1}{\sum a}\le\sum\frac{1}{25}\sum\frac{1}{a}$

Quay lại bài toán:

$P=\sum\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}\ge\sum\frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}$

$\Rightarrow 3-P\le 2\sum\frac{b^2+c^2}{a^2+2(b^2+c^2)}=2\sum\frac{b^2+c^2}{\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{3}+2\frac{(b^2+c^2)}{2}}$

$\le\frac{2}{25}(b^2+c^2)\sum(\frac{9}{a^2+b^2+c^2}+\frac{4}{b^2+c^2})$

$=\frac{2}{25}(9\sum\frac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+12)=\frac{60}{25}=\frac{12}{5}$

Từ đó suy ra: $P\ge\frac{3}{5}$

Edited by Hoang Duong, 25-09-2016 - 19:54.

[le truong son]

Dễ dàng chứng minh:

$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge25$

Hay:

$\frac{1}{\sum a}\le\sum\frac{1}{25}\sum\frac{1}{a}$

Quay lại bài toán:

$P=\sum\frac{a^2}{a^2+(b+c)^2}\ge\sum\frac{a^2}{a^2+2(b^2+c^2)}$

$\Rightarrow 3-P\le 2\sum\frac{b^2+c^2}{a^2+2(b^2+c^2)}=2\sum\frac{b^2+c^2}{\frac{3(a^2+b^2+c^2)}{3}+2\frac{(b^2+c^2)}{2}}$

$\le\frac{2}{25}(b^2+c^2)\sum(\frac{9}{a^2+b^2+c^2}+\frac{4}{b^2+c^2})$

$=\frac{2}{25}(9\sum\frac{b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+12)=\frac{60}{25}=\frac{12}{5}$

Từ đó suy ra: $P\le\frac{3}{5}$

Sửa lại tí  

[Hoang Duong]

Sửa lại tí  

        đã sửa, mình hơi nhầm tí